Минимизация фал методом Квайна-Мак-Класски
Данный метод основывается на задании входящих в ДСНФ функции элементарных произведений в виде двоичных чисел, называемых номерами соответствующих наборов. Кроме номера каждому произведению присваивается определенный индекс, под которым понимается число единиц в двоичном представлении данного набора. Например:
В результате реализации данного метода ФАЛ разлагается на простые импликанты. Под простой импликантой функции понимается всякое элементарное произведение, принимающее единичное значение на всех наборах аргументов, что и исходная ФАЛ, при исключении из которого хотя бы одного аргумента уже не будет выполняться данное условие.
Алгоритм Квайна-Мак-Класски формулируется следующим образом: для того чтобы два числа m и n являлись номерами двух склеивающихся между собой наборов, необходимо и достаточно, чтобы индексы данных чисел отличались на единицу, сами числа отличались на степень числа два и число с большим индексом было больше числа с меньшим индексом.
Реализацию алгоритма рассмотрим на примере минимизации ФАЛ:
.
На первом этапе минимизации определяем номера и индексы каждого набора, записывая ФАЛ в виде:
,.
Группируем наборы, располагая их в порядке возрастания индексов.
Минимизация ФАЛ методом Квайна-Мак-Класски.
Таблица 3.8
На следующем этапе производим склеивание различных наборов, руководствуясь приведенной выше формулировкой алгоритма.
Подлежащие склеиванию пары чисел указаны стрелками. При склеивании не совпадающие в числах разряды отмечаются прочерками. Например, склеивание чисел 0001 и 0011 дает число 00-1. Результат склеивания выписывается в следующий столбец таблицы 3.8, так же разделяемый на строки с индексами, отличающимися на единицу. После склеивания всех групп первого столбца таблицы переходят ко второму столбцу, вписывая результат склеивания в третий столбец. При объединении наборов второго и последующих столбцов таблицы возможно склевать только числа, содержащие прочерки в одноименных разрядах. Склеивание продолжается до тех пор, пока образование нового столбца станет невозможным.
По окончании склеивания приступают к построению импликантной таблицы (табл. 3.9), записывая в нее в качестве простых импликант наборы, содержащиеся в последнем столбце табл. 3.8. В качестве простых импликант в табл. 3.9 также вписываются наборы из других столбцов табл. 3.8, не принимавшие участия в склеивании. Если импликанта, содержащаяся в I-й строке таблицы, составляет некоторую часть конституенты I-го столбца на пересечении I-й строки и I-го столбца, ставится символ*. С целью получения минимальной формы ФАЛ из табл. 3.9 необходимо выбрать минимальное число строк, чтобы для каждого столбца среди выбранных строк нашлась хотя бы одна, содержащая в этом столбце символ*.
Таблица 3.9
Импликантная таблица минимизируемой ФАЛ.
Полученная после минимизации ФАЛ записывается в следующем виде:
3.7. Синтез логических устройств в заданном базисе
Применение теорем Де Моргана.
Двойное инвертирование для применения теорем Де Моргана.
Синтезированная функция может содержать только заданный элемент и инвертор.
Например, задана функция, привести её к заданному базису:
На практике обычно задается базисный элемент и количество входов, например, 2И-НЕ, или 5ИЛИ-НЕ. Здесь может быть несколько вариантов:
Число входов равно количеству переменных.
Число входов больше количества переменных.
Число входов меньше количества переменных.
Рассмотрим второй и третий случаи
Лишние входы необходимо изолировать, рассмотрим обобщенную таблицу истинности (табл. 3.10):
Таблица 3.10
х1 |
х0 |
х1 х0 |
х1 + х0 |
х1|х0 |
х1↓х0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Для штриха Шеффера 0 на входе однозначно определяет 1 на выходе, а для стрелки Пирса 1на входе однозначно определяет 0 на выходе, следовательно:
Штрих Шеффера: 0 – активный логический уровень; 1 – пассивный.
Стрелка Пирса: 1 – активный логический уровень; 0 – пассивный.
Следовательно, для изоляции лишних выводов можно идти следующими путями:
На лишние выводы подавать пассивные логические уровни.
На несколько входов подавать один и тот же логический уровень согласно правилу «х + х +…+ х = х».
Рис. 3.4
Если число входов больше заданного, то необходимо сократить количество переменных. Здесь опять возможны два случая, когда члены исходной ФАЛ содержат общие элементы и есть возможность вынести их за скобку. И второй, когда не содержат, и тогда необходимо применять специальное правило. Рассмотрим подробнее оба случая.
Первый случай:
Второй случай:
применяем
следующее правило
.
Для примера рассмотрим формулу (24.1):
