3 Сила тиску рідини на плоскі поверхні

Якщо на плоску стінку АВ (рисунок 3.1), нахилену під кутом до горизонту, з однієї сторони діє рідина, а з другої -атмосферний тиск, то величина рівнодійної сил тиску рівна

(3.1)

Тут: - абсолютний тиск б центрі тяжіння змоченої частини стінки;

- атмосферний тиск;

- площа змоченої поверхні;

- надлишковий тиск в центрі тяжіння плоскої стінки;

- надлишковий тиск на вільній поверхні рідини;

- глибина занурення центра тяжіння змоченої поверхні.

Рисунок 3.1

У випадку відкритої посудини надлишковий тиск на ві­льній поверхні дорівнює нулю і сила тиску

(3.2)

Якщо на вільну поверхню рідини діє вакуум, то сила ти­ску рівна

(3.3)

Точка перетину лінії дії сили F з площиною стінки на­зивається центром тиску.

45

Гідростатика. Сила тиску на плоскі поверхні

Положення центра тиску відносно п'єзометричної пло­щини визначається за допомогою такого виразу:

(3.4)

де - відстань по стінці від п'єзометричної площини до центра тяжіння змоченої поверхні;

- момент інерції стінки відносно горизонтальної осі, яка проходить через центр тяжіння;

S - площа змоченої поверхні стінки.

Можливі три варіанти положення центра тиску відносно центра тяжіння:

1. при >0 центр тиску лежить нижче центра тяжіння. Тоді сила тиску діє зі сторони рідини;

2. при <0 центр тиску лежить вище центра тяжіння, а сила діє зі сторони незмоченої поверхні стінки.

3) при =0, F-0 і поняття центра тиску втрачає зміст.

Рисунок 3.2 Рисунок 3.3

Рівняння надлишкового тиску р= є рівнянням пря­мої лінії, тому епюра розподілу тиску на стінку буде мати ви­гляд трикутника (рисунок 3.2).

В закритій посудині з надлишковим тиском на вільній поверхні тиск в різних точках визначається з основ-ного рівняння гідростатики . Епюра розподілу тиску матиме вигляд трапеції (рисунок 3.3).

46

Гідростатика. Сила тиску на плоскі поверхні

Для горизонтальної зануреної стінки (наприклад, дно ре­зервуара) =const і

(3.5)

Звідси виходить, що сила тиску на дно ємності (S = const) не залежить від форми її бічних стінок (так званий гідростати­чний парадокс) (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4

Парадокс полягає в тому, що маса рідини, яка знахо­диться у цих посудинах, буде різна, а сила тиску на дно одна­кова у всіх випадках.

Питання для самоперевірки

1. Як визначається сила тиску на плоску стінку?

2. Що таке центр тиску?

3. Чи може рівно дійна сил тиску діяти із зовнішньої сторони твердої поверхні, де нема рідини?

4. Чи може центр тиску знаходитися вище центра тяжіння змоченої частини плоскої поверхні?

5. Як побудувати епюру розподілу тиску, якщо на вільній по­верхні вакуум?

Приклади задач з розв'язком

Задача 3.1 Визначити силу тиску і точку її прикладання на плоску прямокутну стінку, ширина якої =1,5 м. Стінка нахилена під кутом =30° до горизонту. Стінка знаходиться на глибині Н=1,2 м у відкритій посудині (рисунок 3.5).

47

Гідростатика Сила тиску на плоскі поверхні

Розв'язок

Довжина змоченої частини стінки

= 2.4jh

Площа стінки

Рисунок 3.5

= 2,4 х 1,5 = 3,6 м².

Якщо посудина відкрита, тоді =0 і сила тиску, яка діє на стінку, буде дорівнювати

= 1000х9,81х х 3,6= 21190 Н

Момент інерції змоченої площі стінки відносно осі, яка проходить через центр тяжіння,

І =1/728 м⁴.

Сила тиску прикладена в центрі тиску

= +. =5,2 + = 1,6000 м.

Задача 3.2

Проміжна вертикальна стінка ділить резервуар, ширина якого b=1,2 м, на два відсіки (рисунок 3.6).

Рисунок 3.6

Визначити величину рівнодійної сил тиску на цю стінку та точку її прикладання, а також точки прикладання сил і , якщо рівень води в одному відсіку = 1200 мм, а в другому = 480 мм, густина води

=1000 кг/м³. Розв'язок

48

Гідростатика. Сила тиску на плоскі поверхні

Сила, яка діє на стінку зліва,

= 1000х9,81х х 1,2x1,2 = 8476 Н

Відстань від поверхні до точки прикладання сили Ь\

+ -=0,6+ =0,8 м,

де =0,6 м.

= 0,173 м⁴.

Сила, яка діє на стінку справа

= 1000х9,81х х0,48x1,2 = 1354 Н.

Відстань від поверхні до точки прикладання сили

= + - = 0,24+ = 0,32м.

де = 0,24 м,

= 0,0111 м ⁴,

Величина рівнодійної

F= =8476-1354 = 7122Н.

Точку прикладання рівнодійної F знайдемо за теоре­мою Варіньйона

49

Гідростатика. Сила тиску на плоскі поверхні

х= = = 0,506 м,

де =1,2-0,80=0,40 м,

= 0,48-0,32=0,16 м.

Рівнодійна прикладена на відстані 0,506 м від дна резер­вуара.

Задача 3.3 Для зливу рідини із бензосховищ використовуєть­ся квадратний патрубок зі сто­роною = 0,3 м, закритий кришкою, яка шарнірно закрі­плена в точці О. Кришка спи­рається на торець і розташова­на під кутом =45° до гори­зонту (рисунок 3.7).

Рисунок 3.7

Визначити (без врахування тер­тя в шарнірі О і в рамці В ) си­лу F натягу троса, яку необ­хідно прикласти для відкриття кришки АО,

якщо рівень бензину Н = 3 м, тиск над ним, заміряний мано­метром, = 5 кПа, а густина бензину =700 кг/м . Вагу кришки не враховувати. Розв'язок

Знайдемо силу тиску на стінку А О. Змоченою поверх­нею в даному випадку є прямокутна похила стінка, висота

якої і ширина , тобто

Центр тяжіння цієї стінки знаходиться на глибині

50

Гідростатика. Сила тиску на плоскі поверхні

Отже,

= 3,13 кН. Знайдемо точку прикладання сили

= 5,273 м;

= 5,273- = 5,061м;

=0,424 м;

= 0,00191 м⁴

^{= 5,064 м.}

Знайдемосилу натягу троса з рівняння моментів сил, що взяті відносно осі шарніра О

= 0.

Звідси

= 2243 Н.

51

Гідростатика. Сила тиску на плоскі поверхні

Задача 3.4 Визначити силу тиску на дно посудини, якщо сила, що діє на поршень, рівна 44Н (рисунок 3.8). Діа­метр d = 12 см. Глибина води в посудині h=40см, діа­метр дна посудини D = З 5 см, густина води

Рисунок 3.8

= 1000 кг/м³ .

Розв'зок

Надлишковий тиск на дно посудини

де площа поршня

= 0,0113 м²,

р= +1000x9,81x0,40 = 7817 Н/м² .

Сила тиску на дно посудини при площі дна

= 0,0962м²

буде

= 7817x0,0962 = 752 Н.

Задача 3.5 Визначити силу тиску на торцеву плоску сті­нку горизонтальної циліндричної цистерни діаметром D= 2,2m, якщо рівень бензину ( =720 кг/м³) в цистерні знаходиться на віддалі Н = 2,4 м від дна (рисунок 3.9).

Цистерна герметично закрита, і надлишковий тиск пари бензину на вільну поверхню складає h =367 мм рт. cm.

Рисунок 3.11

52

Гідростатика. Сича тиску на плоскі поверхні

Розв'язок

Сила тиску на торцеву плоску стін­ку горизонтальної циліндричної ци­стерни визначається за формулою

де , =

Рисунок 3.9

= 13600x9,81x0,367 = 48964 н/м² ,

= 1,3 м,

= 3,80 м³

Отже,

F = (48964 + 720 х 9,81 х 1,3)3,8=220955 Н.

Задачі для самостійної роботи

Задача 3.1 Похилий щит греблі (рисунок 3.10) має можливість повертатися навколо осі О. При якому рівні води Я щит повер­неться, якщо кут нахилу щита = 60°, а відстань від нижнього кінця щита до шарніра а = 0,9м?

Відповідь: Н = 2,34 м

Рисунок 3.10

Задача 3.2 На трубопроводі, який підводить воду до гідроту­рбіни, встановлений поворотний дросельний клапан діаметром D = 1,5м (рисунок 3.11), який пе­ребуває під напором Н = 15 м.

53

Гідростатика. Сила тиску на плоскі поверхні

Визначити момент, необхідний для відкриття клапана. Кривизною поверхні клапана, кутом його нахилу і тертям в цапфах осі знехтувати

Відповідь: М =2433 Н·м.

Задача 3.3 В резервуар налито гас, густина якого = 860 кг/м³ . Необхідно визначній діаметри d болтів, що закріплюють кришку лаза, встановленого на висоті 1 м від дна резервуара, якщо рівень гасу знаходиться на віддалі Н = 8 м від дна Число болтів n= 12 , діаметр лаза D =0,15м. Допус­тиме напруження на розрив для болтів = 6867 х 10 Па.

Відповідь: d= 0,065 м.

Задача 3.4 Прямокутний канап шириною =1,3 м пере­городжується вертикальним дерев'яним щитом вагою G = 981Н, що може рухатися з пазах стінок каналу.

Визначити силу, необхідну для піднімання щита, якщо глибина каналу h=2 см, а коефіцієнт тертя щита об напрямні f=0,4.

Знайти максимальне напруження в нижній дошці щита, якщо товщина дошки 8 см, а ширина 20 см

Відповідь: F = 11183 Н, =369x10 ⁴ Па.

Задача 3.5 Відкритий прямокутний напірний бак дов­жиною =5,2 і шириною =2,4 м заповнений водою до висо­ти 2,7 м. Температура води t = 80°С . Визначити сили тиску, що діють на кожну із стінок і дно бака, знайти точки їх при­кладання.

Відповідь: =320,8 кН ; =180,5 кН; =83,4 кН ;

= 1,8 м; =1,8 м.

Задача 3.6 Знайти силу тиску води на кришку люка па­рового котла діаметром 110 мм, що знаходиться на глибині 5 м від поверхні води.

54

Гідростатика. Сила тиску на плоскі поверхні

Паровий котел працює під тиском 196,2x10 Па та темпера-турі пари t =214°С. При цих умовах питомий об'єм = 0,0001203 м³/Н . Відповідь: F= 19031 Н.

Задача 3.7 Резервуар заповнений нафтою, густина якої

Рисунок 3.12

=350 кг/м³, до висоти =4 м (рисунок 3.12). Надлишковий тиск на поверхні =14,7 кПа. Визначити реакції шарніра А та стяжного болта В кришки тікша, якщо діаметр патрубка d =1м, і його центр розташований на від­стані =1,5 м від дна резервуа­ра; а=0,7 м і =0,8 м. Вагою кришки знехтувати. Відповідь: =34,6 кН; =13,3 кН.

Задача 3.8 Закритий резервуар висотою Н = 10 м (рисунок 3.13) розділений на два відсіки верти­кальною прямокутною перего­родкою шириною =4м. У лі­вому відсіку рівень нафти = 8м ( = 850кг/м³), у правому рівень води =5 м

( =1000кг/ м³ ).

Рисунок 3.13

Надлишко­вий тиск парів над нафтою = 39,6 кПа.

Визначити рівнодійну сил тиску на перегородку та точку її прикладання.

55

Гідростатика. Сила тиску на плоскі поверхні

Вказівка: У лівому відсіку, крім сили тиску нафти і пари, на змочену частину перегородки, необхідно врахувати силу тиску пари на незмочену частину стінки.

Відповідь: F = 136 х 10⁴ Н, відстань від точки 0 до точки прикладання рівнодійної F рівна а = 4,46 м , сила F діє зі сторони лівого відсіку.

Задача 3.9 Визначити силу, що діє на кожну із чотирьох стінок посудини, яка має форму пере­вернутої правильної піраміди, якщо =0,5 МПа, =4 м,

= 1,2 м, кожна сторона основи піраміди =4,8м. Густина рі­дини = 800 кг/м³ (рисунок 3.14).

Рисунок 3.14

Відповідь: = 0,271МН

Задача 3.10 Круглий затвор перекриває трубу діаметром = 1м, густина рідини =1000 кг/м³ . Визначити зусилля та точку прикладання сили.

Відповідь: =3850 Н; =0,625 м

Задача 3.11 Визначити зусилля , яке необхідно при­класти для підйому шарнірного похилого щита шириною = 1,5 м, розташованого під кутом =60° до горизонту в ка­налі глибиною =1,5 м. Відстань від рівня води до осі шар­ніра а = 20 см. Вагою щита та тертям в шарнірі знехтувати.

Відповідь: =13439,7 Н.

Задача 3.12 Прямокутний отвір висотою =0,5 ти і ши­риною = 1,2 м у вертикальній стінці відкритого резервуара (рисунок 3.15) закритий щитом, який обертається навколо го­ризонтальної осі О та притискається за допомогою двох ван­тажів , підвішених на важелях = 1м.

Визначити мінімально необхідну вагу кожного вантажу, якщо глибина занурення нижнього краю отвору =1,3 ти, а

56

Гідростатика. Сила тиску на плоскі поверхні

відстань від верхнього краю отвору до осі щита а=100мм. Вагою важелів і тертям в підшипниках знехтувати.

Відповідь: Q = 1138 .

Рисунок 3. 15