Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Vischa_Matematika

.pdf
Скачиваний:
2151
Добавлен:
17.02.2016
Размер:
9.07 Mб
Скачать

ВИЩА МАТЕМАТИКА розділ 8

рівень B

1

Вказати загальний розв’язок рівняння

 

2u

 

0

( f , - довільні функції).

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) u x , y xf y y ;

 

 

 

2u

0

 

 

 

u

f y

 

 

 

 

 

 

 

u x , y xf y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Вказати загальний розв’язок рівняння

 

2u

 

 

0

( f ,

- довільні функції).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

u x , y f x y ;

 

2u

0

 

 

 

u

f x

 

 

 

 

 

 

 

u x , y f x y

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

Вказати загальний розв’язок рівняння

 

2u

 

0

 

( f , - довільні функції).

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) u x, y yf x x ;

 

 

 

2u

0

 

 

 

u

f x

 

 

 

 

 

 

 

u x, y yf x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Вказати загальний розв’язок рівняння

 

2u

 

1

 

( f , - довільні функції).

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

u x, y

1

 

x

2

xf y

y ;

 

 

2u

1

u

x f ( y)

 

u x, y

1

 

x

2

xf y y

2

 

 

 

 

x2

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Вказати загальний розв’язок рівняння

 

2u

 

 

1

( f ,

- довільні функції).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

б) u x, y xy f x y

;

 

2u

1

 

 

 

u

y

 

u x, y xy f x y

 

 

 

x y

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Вказати загальний розв’язок рівняння

 

2u

 

1

( f ,

- довільні функції).

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

u x, y

 

1

y2

yf x x ;

 

 

u x,

y y2

yf x y ;

 

д) інша відповідь.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u 1

 

 

 

u

y f (x)

 

 

 

 

u x, y

 

1

y2 yf x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Вказати загальний розв’язок рівняння

 

2u

 

6x

( f ,

- довільні функції).

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

u x, y x3 xf y y ;

 

 

 

2u

6x

u

3x2 f ( y)

u x, y x3 xf y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Вказати загальний розв’язок рівняння

 

 

2u

 

6 y

( f ,

 

- довільні функції).

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

u x, y y3 yf x x ;

 

 

2u 6 y

 

u

2 y 2 f (x)

 

u x, y y3 yf x x

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Вказати загальний розв’язок рівняння

 

 

2u

 

 

4xy

( f , - довільні функції).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

u x, y x2 y2 f x y ;

 

2u

4xy

 

u

2xy 2

 

 

u x, y x2 y2 f x y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10Вказати загальний розв’язок рівняння

 

2u

 

x y

( f , - довільні функції).

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

u x, y

1

xy x y f x y ;

2u

x y

 

u

xy

y 2

 

 

 

u

x2 y

 

y 2

 

x f x y

 

2

 

 

 

x y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

u x , y

1

xy x y f x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

Рівняння вільних коливань струни має вид:

 

б)

2u

a2

2u

;

 

 

 

 

t

2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо щільність

стала, x , то рівняння коливань струни приймає

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2U

a

2

2U

 

 

f

 

 

 

 

 

 

F

; a2

 

 

T

вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

де f

 

 

 

 

 

0

- сталі.

 

 

 

 

t

2

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

Рівняння теплопровідності в стержні має вид:

 

г)

u

 

a2

2u

;

 

 

 

t

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння теплоповідності — рівняння, що визначає закон зміни температури з часом при теплопередачі через теплопровідність.

де c — питома теплоємність, q — тепловий потік, S — джерело тепла.

У випадку, коли тепловий потік пропорційний градієнту температури

(закон Фур'є) ,

закон теплопровідності набирає форми:

Це неоднорідне диференційне рівняння в часткових похідних параболічного типу, схоже на рівняння дифузії.

2

Здебільшого при розв'язуванні рівняння теплопровідності вважають, що теплоємність і коефіцієнт теплопровідності не залежать від температури. В

такому випадку рівняння теплопровідності стає лінійним.

13 Рівняння Лапласа має вид:

в)

2u

 

2u

0

;

x2

y2

 

 

 

 

 

Рівняння Лапласа — однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого

порядку еліптичного типу.

Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.

14 Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях

2u

a

2

2u

, u 0, t u l , t 0,

u x , 0 f x ,

ut x , 0 0 має вид:

t 2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

n

 

а) u x, t An cos

t sin

x ,

 

 

l

n 1

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння виду

 

 

 

2u

a2

2u

F (x;t)

t2

x2

 

 

 

 

 

с крайовими умовами

u(0;t) u(l;t) 0

і початковими умовами

u(x;0) (x)

du

 

(x)

 

 

dt

 

t 0

 

A

2 l

f x sin

n

x dx ;

l

 

l

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

(1)

(2)

(3)

(4)

описує закон коливань однорідної тонкої нерозтяжної струни довжини l, закріпленої на кінцях у точках х=0 і х=l (умови (2)), з початковою формою (х) (умова (3)) і початковою швидкістю (х) (умова (4)), у поле дії зовнішньої сили (наприклад, сили ваги, у магнітному полі й т.п.). Постійний параметр a2 залежить від властивостей струни, функція F(x;t) - від зовнішньої сили. Якщо F(x;t)=0 – це значить, що зовнішньої сили немає (або їй можна зневажити) і коливання називаються вільними.

Відзначимо, що коливання розглядаються малі (відхилення u крапок струни від положення рівноваги – осі Ох – мало), плоскі (коливання відбуваються тільки в площині хOu), поперечні (кожна крапка струни рухається строго перпендикулярно положенню рівноваги).

3

Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:

 

 

 

 

u(x,0) (x),

2u

 

2u

 

 

u

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

(x),

 

 

,

 

 

 

t2

x2

t

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

u(0,t) u(l,t) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

має рішення виду

 

na t Bn sin

na t)sin

nx

 

u(x;t) ( An cos

,

n 1

l

l

l

 

 

 

 

 

де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:

 

 

 

 

du

 

 

 

na

 

 

 

 

 

 

 

 

Тобто, оскільки

 

x , 0 0

, то

 

 

 

Bn sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ut

dt

 

 

l

 

 

 

 

 

t 0

n 1

 

 

 

 

 

 

 

nx (x) =0, тому складова l

 

 

an

 

n

 

 

 

2

l

 

n

 

Bn=0/

u x, t An cos

t sin

x ,

An

 

0

f x sin

x dx

l

l

l

l

 

n 1

 

 

 

 

 

 

15 Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях

2u

a

2

2u

,

u 0, t u l , t 0 ,

u x , 0 0 ,

 

x , 0 x має вид:

t 2

 

x2

ut

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

n

 

2

l

 

 

n

 

б) u x, t Bn sin

 

 

 

x sin

x dx ;

 

 

t

sin

 

x ,

Bn

 

 

 

l

l

an

l

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Рівняння виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

a2

2u

F (x;t)

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с крайовими умовами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(0;t) u(l;t) 0

 

(2)

 

 

 

 

 

 

і початковими умовами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x;0) (x)

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

(x)

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

описує закон коливань однорідної тонкої нерозтяжної струни довжини l, закріпленої на кінцях у крапках х=0 і х=l (умови (2)), з початковою формою(х) (умова (3)) і початковою швидкістю (х) (умова (4)), у поле дії зовнішньої сили (наприклад, сили ваги, у магнітному полі й т.п.). Постійний параметр a2 залежить від властивостей струни, функція F(x;t) - від зовнішньої сили. Якщо F(x;t)=0 – це значить, що зовнішньої сили немає (або їй можна зневажити) і коливання називаються вільними.

Відзначимо, що коливання розглядаються малі (відхилення u крапок струни від положення рівноваги – осі Ох – мало), плоскі (коливання відбуваються

4

тільки в площині хOu), поперечні (кожна крапка струни рухається строго перпендикулярно положенню рівноваги).

Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:

 

 

 

 

u(x,0) (x),

2u

 

2u

 

 

u

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

(x),

 

 

,

 

 

 

t2

x2

t

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

u(0,t) u(l,t) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

має рішення виду

 

na t Bn sin

na t)sin

nx

 

u(x;t) ( An cos

,

n 1

l

l

l

 

 

 

 

 

де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:

підставляючи t=0 одержуємо

 

nx

 

u(x;0) An sin

(x) =0 pf evjdj.

n 1

l

 

 

 

тобто Аn – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі (0; l) по синусах кратних дуг.

Далі, диференціюючи u(х;t) по t і підставляючи t=0 одержуємо:

 

 

 

 

 

 

 

nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

na Bn sin

(x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

t 0

n 1 l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто

na B – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі

 

l

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0; l) по синусах кратних дуг.

 

 

 

 

Отже, складова An=0, тому розв’язок має вид: 2u

a2 2u

,

u 0, t u l , t 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

x2

 

 

16

Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях

2u

a

2

2u

, u 0, t u l , t 0 ,

u x , 0 f x ,

ut x , 0 x має вид:

t 2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

an

в) u x, t An cos

 

t Bn sin

 

l

l

n 1

 

 

Рівняння виду

 

n

 

 

 

2 l

n

 

 

2

l

n

 

t sin

 

x ,

An

 

 

f x sin

 

x dx , Bn

 

 

x sin

 

x dx ;

 

 

 

an

 

 

l

 

 

 

l

0

l

 

 

0

l

 

2u

a2

2u

F (x;t)

(1)

t2

x2

 

 

 

с крайовими умовами

u(0;t) u(l;t) 0

(2)

5

і початковими умовами

u(x;0) (x)

(3)

du

 

(x)

(4)

 

 

 

dt

 

t 0

 

 

 

описує закон коливань однорідної тонкої нерозтяжної струни довжини l, закріпленої на кінцях у крапках х=0 і х=l (умови (2)), з початковою формою(х) (умова (3)) і початковою швидкістю (х) (умова (4)), у поле дії зовнішньої сили (наприклад, сили ваги, у магнітному полі й т.п.). Постійний параметр a2 залежить від властивостей струни, функція F(x;t) - від зовнішньої сили. Якщо F(x;t)=0 – це значить, що зовнішньої сили немає (або їй можна зневажити) і коливання називаються вільними.

Відзначимо, що коливання розглядаються малі (відхилення u крапок струни від положення рівноваги – осі Ох – мало), плоскі (коливання відбуваються тільки в площині хOu), поперечні (кожна крапка струни рухається строго перпендикулярно положенню рівноваги).

Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:

 

 

 

 

u(x,0) (x),

2u

 

2u

 

 

u

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

(x),

 

 

,

 

 

 

t2

x2

t

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

u(0,t) u(l,t) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

має рішення виду

 

na t Bn sin

na t)sin

nx

 

u(x;t) ( An cos

,

n 1

l

l

l

 

 

 

 

 

де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов: підставляючи t=0

 

 

nx

 

одержуємо

u(x;0) An sin

(x) ,

 

n 1

l

 

 

 

 

тобто Аn – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі (0; l) по синусах кратних дуг.

Далі, диференціюючи u(х;t) по t і підставляючи t=0 одержуємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

na Bn sin

(x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

t 0

n 1 l

l

 

 

 

 

 

тобто

na B

– коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі

 

l

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0; l) по синусах кратних дуг.

 

 

an

 

an

u x, t An cos

 

t Bn sin

 

l

l

n 1

 

 

6

 

 

 

 

 

n

 

 

 

2 l

n

 

 

2

l

n

 

t sin

 

x ,

An

 

 

f x sin

 

x dx , Bn

 

 

x sin

 

x dx ;

 

 

 

an

 

 

l

 

 

 

l

0

l

 

 

0

l

 

17 Розв’язок задачі про вільні коливання нескінченної струни

2u

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x at f x at

 

1 x at

 

 

 

a

2

 

, u x , 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

має вид:

г) u x, t

 

 

 

 

y dy ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

x2

f x , ut x , 0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2a x at

Рівняння вільних коливань нескінченної струни:

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2u

 

 

u(x,0) (x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

a2

 

 

,

u

 

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(без крайових умов)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вирішують за допомогою формули Даламбера:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x at) (x at)

 

 

1

x at

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x;t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x at

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

Розв’язок задачі теплопровідності в стержні

 

 

 

 

 

u

a2

2u ,

 

u 0, t u l, t 0 ,

u x, 0

f x має вид:

 

 

 

 

 

t

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2 n 2 2

t

 

 

 

 

n

 

 

 

2

l

 

 

n

 

 

 

 

 

 

б) u x, t Ane

 

l 2

 

sin

 

x ,

An

 

f x sin

x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

l 0

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

a2 2u

F (x;t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с крайовими умовами

u(0;t) u(l;t) 0

і початковою умовою

u(x;0) (x)

описує закон розподілу температури в однорідному стрижні довжини l, на кінцях якого підтримується нульова температура. Функція F(x;t) характеризує існуючі усередині стрижня крапки (джерела) виділення або поглинання тепла. Якщо такі відсутні, F(x;t)=0 і рівняння називається однорідним.

19 Рівняння Лапласа в полярних координатах має вид:

в) r2 2u r u 2u 0 ;r2 r 2

Рівняння Лапласа - диференціальне рівняння в частинних похідних. У

тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:

і є окремим випадком рівняння Гельмгольца.

7

Усферичних координатах рівняння має вигляд

Уполярних координатах r, φ рівняння має вигляд

20

Розв’язок задачі Діріхле для круга 2u 2u 0 ,

u

 

r R

f має вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

б)

u r ,

An cos n Bn sin n r

n

,

An

f t cos nt dt ,

Bn

 

 

f t sin nt dt ;

2

 

Rn

Rn

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f( ), де - полярний кут. Потрібно знайти функцію u(r, ), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа

2U 2U 0 .x2 x2

і на колі що приймає задані значення U r R f ( ) .

 

1

 

 

 

R

2

r

2

 

 

U (r,)

f (t)

 

 

 

 

 

dt .

2

R

2

2rRcos(t ) r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f( ) неперервна, то функція U(r, ), визначена інтегралом задовільняє рівність (1 ) і при r R буде U(r, ) f( ), тобто U(r, )

являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.

рівtym C

1 Вказати тип рівняння

2u

2

2u

3

2u

 

u

0 .

б) гіперболічний;

x2

x y

y2

y

 

 

 

 

 

 

Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:

a(x, y)

2u

2b(x, y)

2u

c(x, y)

2u

g(u, x, y,

u

,

u ) 0 .

x2

x y

y2

x

 

 

 

 

 

y

Ці рівняння часто зустрічаються в математичних моделях фізичних процесів і теорія їхнього рішення найбільше добре розроблена.

8

Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .

Говорять, що дане рівняння належить

-до еліптичного типу в області, де D<0

-до гіперболічного типу в області, де D>0

-до параболічного типу в області, де D=0.-

D 12 1 3 2 0 - гіперболічний тип

2 Вказати тип рівняння

2u

6

2u

10

2u

 

u

3

u

0 .

x2

x y

y2

x

y

 

 

 

 

 

 

а) еліптичний; А .

Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:

a(x, y)

2u

2b(x, y)

2u

c(x, y)

2u

g(u, x, y,

u

,

u ) 0 .

x2

x y

y2

x

 

 

 

 

 

y

Ці рівняння часто зустрічаються в математичних моделях фізичних процесів і теорія їхнього рішення найбільше добре розроблена.

Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .

Говорять, що дане рівняння належить

-до еліптичного типу в області, де D<0

-до гіперболічного типу в області, де D>0

-до параболічного типу в області, де D=0.-

D 32 1 10 1 0 - еліптичний тип

3 Вказати тип рівняння 4

2u

4

2u

 

2u

2

u

0 .

x2

x y

y2

y

 

 

 

 

 

в) параболічний;

Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:

a(x, y)

2u

2b(x, y)

2u

c(x, y)

2u

g(u, x, y,

u

,

u ) 0 .

x2

x y

y2

x

 

 

 

 

 

y

Ці рівняння часто зустрічаються в математичних моделях фізичних процесів і теорія їхнього рішення найбільше добре розроблена.

Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .

Говорять, що дане рівняння належить

- до еліптичного типу в області, де D<0

9

-до гіперболічного типу в області, де D>0

-до параболічного типу в області, де D=0.-

D 22 4 1 0 - параболічний тип

4 Вказати тип рівняння

2u

2

2u

4

2u

 

u

0 .

б) гіперболічний;

x2

x y

y2

x

 

 

 

 

 

 

Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:

a(x, y)

2u

2b(x, y)

2u

c(x, y)

2u

g(u, x, y,

u

,

u ) 0 .

x2

x y

y2

x

 

 

 

 

 

y

Ці рівняння часто зустрічаються в математичних моделях фізичних процесів і теорія їхнього рішення найбільше добре розроблена.

Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .

Говорять, що дане рівняння належить

-до еліптичного типу в області, де D<0

-до гіперболічного типу в області, де D>0

-до параболічного типу в області, де D=0.-

D 12 1 4 3 0 - гіперболічний тип

5 Вказати тип рівняння

2u

2

u

3

u

0 .

б) гіперболічний;

x y

x

y

 

 

 

 

 

Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:

a(x, y)

2u

2b(x, y)

2u

c(x, y)

2u

g(u, x, y,

u

,

u ) 0 .

x2

x y

y2

x

 

 

 

 

 

y

Ці рівняння часто зустрічаються в математичних моделях фізичних процесів і теорія їхнього рішення найбільше добре розроблена.

Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .

Говорять, що дане рівняння належить

-до еліптичного типу в області, де D<0

-до гіперболічного типу в області, де D>0

-до параболічного типу в області, де D=0.-

D 12 0 1 0 - гіперболічний тип

6 Вказати тип рівняння

2u

2

2u

 

2u

 

u

 

u

0 .

в) параболічний;

x2

x y

y2

x

y

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]