Найти оценки дисперсий оценок коэффициентов регрессии
Рассчитаем соответствующие стандартные ошибки (среднеквадратичные отклонения)
Для коэффициента
b
стандартная ошибка рассчитывается по
формуле
. И она равна
0.0402
Для коэффициента
a
стандартная ошибка рассчитывается по
формуле
. И она равна
2.1143
Найти доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с доверительной вероятностью 0.9
Для построения доверительных интервалов коэффициентов регрессии, воспользуемся рассчитанными ранее соответствующими стандартными ошибками. Соответствующее критическое значение t(0.1;14-2)=1.7823
Доверительный
интервал для коэффициента b
определяется по формуле
0.5435-1.7823*0.0402≤b≤0.5435+1.7823*0.0402
0.4718≤b≤0.6152
Доверительный
интервал для коэффициента а
определяется по формуле
6.5796-1.7823*2.1143≤a≤6.5796 +1.7823*2.1143
2.8111≤a≤10.3480
Проверить гипотезы о равенстве отдельных коэффициентов нулю (при альтернативе не равно), т.е. рассчитать уровни значимости
Для оценки
существенности коэффициента регрессии
его величина сравнивается с его
стандартной ошибкой, т.е. рассчитывается
фактическое значение t-критерия
Стьюдента
,
которое затем сравнивается с табличным
значением при определенном уровне
значимости α и числе степеней свободы
(n-2).
В нашем случае
Проверим значимость коэффициента регрессии b нулю.
Формулируем
гипотезу
(b=0),
при альтернативной гипотезе
.
При уровне значимости
α=0,05 и количестве степеней свободы
14-2=12 табличное значение
2.1788.
Так как фактическое значение превышает
табличное, гипотезу о равенстве нулю
коэффициента регрессии
отвергаем,
гипотезу
принимаем.
Вывод – коэффициент регрессии b
существенно отличается от нуля.
Найти коэффициент детерминации и на уровне значимости 0.05 проверить значимость линейной функции регрессии
Уравнение регрессии
всегда дополняется показателем тесноты
связи. При использовании линейной
регрессии в качестве такого показателя
выступает линейный коэффициент
корреляции, который рассчитывается по
формуле
.
Линейный коэффициент корреляции
изменяется в пределах от -1 до 1. В нашем
случае
,
так как коэффициент корреляции близок
к 1, можно сделать вывод, что связь между
х
и у
тесная.
Проверим значимость
линейного коэффициента корреляции.
Найдем по таблице критические значения
корреляции для уровня значимости 0,05 и
количестве степеней свободы 14-2=12.
=0,5324.
Так как фактическое значение превышает
табличное, делаем вывод, что коэффициент
корреляции существенно отличается от
нуля, другими словами он значим.
Рассчитаем коэффициент детерминации, который равен квадрату коэффициента корреляции. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака.
Найти точечное и интервальное (с надежностью 0.9) предсказания зависимой переменной при значении объясняющей, равной максимальному наблюденному ее значению, увеличенному на 10%.
Найдем точечное предсказание зависимой переменной при значении объясняющей, равной максимальному наблюденному значению, увеличенному на 10%.
Найдем точечный прогноз y(82.5)=6.579+0.543*82.5=51,4184.
Для построения
доверительного интервала прогноза,
рассчитаем стандартную ошибку
1,3946.
Будем строить доверительный интервал
с доверительной вероятностью 0.9.
Критическое значение, найденное по
таблице t(0.1;14-2)=1.7823
Доверительный
интервал прогноза определяется по
формуле
.
51,4184-1.7823*1,3946≤y≤51,4184+1.7823*1,3946
48,9327≤y≤53,9041