Содержание
Задание контрольной работы 4
Методика выполнения контрольной работы 4
Варианты 15
Задание контрольной работы
Построить диаграмму рассеяния.
Найти точечные оценки параметров линейной регрессии, записать оценку функции регрессии.
Построить график регрессии на диаграмме рассеяния вместе с границами 90% интервалов для предсказаний.
Найти оценки дисперсий оценок коэффициентов регрессии.
Проверить гипотезы о равенстве отдельных коэффициентов нулю (при альтернативе не равно).
Найти коэффициент детерминации.
При уровне значимости 0.05 проверить значимость линейной функции регрессии.
Найти точечное и интервальное (с надежностью 0.9) предсказания зависимой переменной при значении объясняющей, равной максимальному наблюденному ее значению, увеличенному на 10%.
Найти средний коэффициент эластичности зависимой переменной по независимой.
Дать интерпретацию найденных параметров регрессии.
Методика выполнения контрольной работы
Построить диаграмму рассеяния
В Excel создаем новый лист и заносим в него исходные данные, столбцы х и у. Затем воспользуемся мастером построения диаграмм (Excel 2003). Выберем тип диаграммы – точечная, зададим диапазон исходных данных и подпишем оси координат. Полученная диаграмма рассеяния представлена на Рис. 1.
Рис. 1 Диаграмма рассеяния
Найти точечные оценки параметров линейной регрессии, записать оценку функции регрессии и построить ее график на диаграмме рассеяния вместе с границами 90% интервалов для предсказаний
Уравнение парной регрессии имеет вид у^=a+bх, где а и b – параметры, которые находятся методом наименьших квадратов (МНК), то есть так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальна.
(1)
В таком случае параметры рассчитываются по формулам:
(2)
Рис. 2 Вычисление по формулам параметров регрессии
На Рис. 2 представлены формулы для вычисления параметров парной линейной регрессии. Однако нет необходимости всякий раз рассчитывать их вручную, эти формулы запрограммированы в Excel. На Рис. 3 показаны две пары формул для раcчета коэффициентов парной линейной регрессии, в ячейках В18 и В19 эти коэффициенты рассчитываются по формулам (2), а в ячейках С18 и С19 по тем же формулам, только запрограммированным в Excel. На Рис. 4 представлены результаты расчетов параметров и видно, что равны значения в ячейках В18 и С18, а также В19 и С19.
Рис. 3 Формулы для расчета параметров парной линейной регрессии
Рис. 4 Значения параметров парной линейной регрессии
Оценка функции
регрессии в нашем случае имеет вид
y=6.579+0.543*x. Дополним точечный прогноз
расчетом стандартной ошибки
и
затем построим интервальную оценку
прогнозного значения (
)
(3)
Стандартная ошибка имеет выражение
,
где
. (4)
Для данного примера имеет выражение
(5)
При
=50.714,
стандартная ошибка
,
При
60,
стандартная ошибка
0,6712,
для остальных значений х
результаты приведены на Рис. 5
Рис. 5 Стандартная ошибка прогнозного значения y
Как видно из формулы, стандартная ошибка возрастает при увеличении отклонения х от среднего значения. Требуется построить 90%-ный доверительный интервал. По таблице критических значений t-критерия Стьюдента найдем критическое значение для уровня значимости 0,1 (100%-90%=10%, переведем в доли единицы) и числа степеней свободы 12=14-2. Критическое значение tкр(0.1; 12)=1.7823.
Рис. 6 Расчет доверительного интервала для прогнозных значений
На Рис. 7 представлены графики линии парной регрессии, и нижней и верхней границ доверительного интервала. Значения доверительного интервала рассчитаны для исходных значений х. На графике доверительные границы для y^ представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии.
Рис. 7 График доверительного интервала