Тема «Вариационные ряды»

Задача 1. При обследовании 50 членов семей рабочих и служащих установлено следующее количество членов семьи: 5; 3; 2; 1; 4; 6; 3; 7; 9; 1; 3; 2; 5; 6; 8; 2; 5; 2; 3; 6; 8; 3; 4; 4; 5; 6; 5; 4; 7; 5; 6; 4; 8; 7; 4; 5; 7; 8; 6; 5; 7; 5; 6; 6; 7; 3; 4; 6; 5; 4.

а) Составьте вариационный ряд распределения частот;

б) Постройте полигон распределения частот, кумуляту;

Решение.

а) В данной задаче изучаемый признак является дискретно варьирующим, т.к. размер семей не может отличаться друг от друга менее чем на одного человека. Следовательно, необходимо построить дискретный вариационный ряд.

Чтобы построить вариационный ряд, необходимо подсчитать: сколько раз встречаются те или иные значения признака, и упорядочить их в порядке возрастания или убывания.

Значения изучаемого признака - размер семьи - обозначим x_i, частоты - m_i.

Произведем упомянутые расчеты и запишем полученные результаты в таблице:

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9
mi	2	4	6	8	10	9	6	4	1

б) Дискретный вариационный ряд графически можно представить с помощью полигона распределения частот или частостей.

Построим полигон распределения частот:

Для того чтобы построить кумуляту, необходимо рассчитать накопленные частоты или частости.

Накопленная частота первого варианта х₁ = 1 равна самой частоте этого варианта, т.е. двум: v₁ = 2.

Накопленная частота второго варианта х₂ = 2 равна сумме частот первого и второго вариантов, т.е. v₂ = 2 + 4 = 6.

Далее, аналогично:

v₃ = 12; v₄ = 20; v₅ = 30; v₆ = 39; v₇ = 45; v₇ = 49; v₈ =50.

П остроим кумуляту:

Задача 2. Имеются данные о годовой мощности предприятий цементной промышленности :

Предприятия с годовой мощностью, тыс. тонн	Количество предприятий
до 500	27
500 – 1000	11
1000 – 2000	8
2000 – 3000	8
свыше 3000	2

Постройте гистограмму, кумуляту.

Решение.

а) Данные о годовой мощности предприятий цементной промышленности представлены в виде интервального вариационного ряда - значения признака заданы в виде интервалов. При этом первый и последний интервалы - открытые: оба интервала не имеют одной из границ. Наконец, данный интервальный вариационный ряд - с неравными интервалами: интервальные разности (разность между верхней и нижней границами интервала) интервалов неодинаковы.

Условно закроем границы открытых интервалов.

Интервальная разность второго интервала равна: 1000 - 500 = 500. Следовательно, нижняя граница первого интервала составит: 500 - 500 = 0.

Интервальная разность предпоследнего интервала равна: 3000 - 2000 = 1000. Следовательно, верхняя граница последнего интервала составит: 3000 + 1000 = 4000.

В результате, получим следующий вариационный ряд:

xi	mi
0 - 500	27
500 - 1000	11
1000 - 2000	8
2000 - 3000	8
3000 - 4000	2

Учитывая неодинаковую величину интервалов, для построения гистограммы рассчитаем абсолютные плотности распределения по формуле (6.6).

Построим гистограмму:

f(a)			Гистограмма
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
								x
0	500 500	1 1500 1000	1500 1500	2000 2000		3000		4000

Для того чтобы построить кумуляту, необходимо рассчитать накопленные частоты или частости.

Накопленная частота нижней границы первого варианта х=0 равна нулю. Накопленная частота верхней границы первого интервала равна частоте этого интервала, т.е. 27.

Накопленная частота верхней границы второго интервала равна сумме частот первого и второго интервалов, т.е. 27 + 11 = 38.

Далее, аналогично:

38 + 8 = 46; 46 + 8 = 54; 54 + 2 = 56.

Построим кумуляту: