7. Преобразования графиков

Мы умеем строить графики простеньких функций. Иногда бывает так, что нам нужно построить не график простенькой функции, а график композиции простеньких функций, график чуть-чуть измененной простенькой функции. Дело в том, что часто мы можем сказать, как изменяется график функции при определённом изменении этой функции. Далее следует таблица, что происходит с графиком f при конкретном изменении f

Как изменяется функция	Преобразование графика, которое при этом происходит
y = f(x − с)	Параллельный перенос графика по горизонтали на |с| единиц вправо, если с > 0 влево, если с < 0
y = f(x) + с	Параллельный перенос графика по вертикали на |с| единиц вверх, если с > 0 вниз, если с < 0
y = f(сx)	при с > 1 — сжатие графика к вертикальной оси в с раз при 0 < с < 1 — растяжение графика от вертикальной оси в 1/с раз
y = сf(x)	при с > 1 — растяжение графика от горизонтальной оси в с раз при 0 < с < 1 — cжатие графика к горизонтальной оси в 1/с раз
y = f( − x)	Симметричное отражение графика относительно вертикальной оси
y = − f(x)	Симметричное отражение графика относительно горизонтальной оси
y = | f(x) |	Верхняя (положительная) часть графика остаётся без изменений, нижняя (отрицательная) часть симметрично отражается относительно горизонтальной оси
y = f( | x | )	Правая (положительный аргумент) часть графика остаётся без изменений, левая (отрицательный аргумент) часть симметрично отражается относительно вертикальной оси

Инверсия – это преобразование типа f(x)  1/f(x). Напомню краткий алгоритм, как преобразовывается при этом график:

1. Точки, в которых f(x) = 1 или -1, остаются на месте

2. Точки, в которых f(x) = 0, умирают, ни во что не переходят

3. Остальные точки плавно куда-нибудь переходят с учётом следующего соображения: если |f(x)| было больше 1, то станет меньше. И наоборот

Самым сложным в заданиях на эту тему является понять, в каком же порядке надо производить преобразования графика. Вот пример: построить график функции 1/(x-1)². Здесь надо действовать в таком порядке: берем параболу y=x², понятно, что началось всё с неё, так как у нас нет преобразования графика, отвечающего возведению в квадрат. Далее смещаем аргумент на 1: получается график у=(х-1)². После этого делаем инверсию – и получаем график искомой функции

Инверсия f(x)  f(1/x) делается аналогично:

1. Точки, в которых x = 1 или -1, остаются на месте

2. Точки, в которых x = 0, умирают, ни во что не переходят

3. Остальные точки плавно куда-нибудь переходят с учётом следующего соображения: если |x| было больше 1, то станет меньше. И наоборот