5. Линейная функция
Линейная функция – это функция вида y = ax + b. Любая прямая на координатной плоскости задаётся либо таким условием (y = ax + b), либо условием вида x = a (в случае, если она вертикальна). Коэффициенты a и b имеют свой смысл. a – это угловой коэффициент, от него зависит наклон прямой. b – это свободный член, от него зависит смещение по вертикали. На картинке приведена зависимость наклона графика от углового коэффициента (нарисованы графики функций y = ax):
Если свободный член равен 0, то функция называется однородной линейной функцией
Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть, если мы несколько раз увеличим аргумент на одну и ту же величину, то и значение функции каждый раз будет изменяться на одинаковую величину
Есть два способа способа построить график линейной функции:
Найти две точки, лежащие на графике, и построить единственную прямую, проходящую через них
Подняться от точки (0,0) на величину b и, в соответствии с угловым коэффициентом, провести прямую с правильным наклоном
6. Чётность/нечётность функции, ограниченность сверху/снизу, периодичность
Четность. Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения X
Функция f называется чётной, если справедливо равенство f(-x) = f(x) для каждого x из Х
Функция f называется нечётной, если справедливо равенство f(-x) = -f(x) для каждого x из Х
Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида
Как проверить функцию на четность/нечетность? Взять f(-x) и посмотреть, чему оно будет равно. Если всегда f(x), то четная функция. Если всегда -f(x), то нечетная. Если хотя бы раз ни тому, ни другому, то функция общего вида
Сразу можно заметить, что, например, если х входит в формулу, задающую функцию, только под модулем, то функция сразу четная. (Но именно х сам должен быть под модулем, а не входить в выражение под модулем: |x-1| - функция общего вида)
График нечётной функции симметричен относительно начала координат. График чётной функции симметричен относительно вертикальной оси
Ограниченность. Функция ограничена сверху, если она всегда меньше какого-то наперед заданного числа. Снизу – если больше
График ограниченной сверху функции целиком лежит строго под какой-то горизонтальной прямой (то есть, ветки графика не улетают вверх на бесконечность). График ограниченной снизу функции целиком лежит строго над какой-то горизонтальной прямой (то есть, ветки графика не улетают вниз на бесконечность)
Периодичность. Бывает так, что, если к аргументу какой-нибудь функции добавить какое-нибудь положительное число, то значение функции не изменится. Т.е., f(x) = f(x+t) для каждого х. Такая функция называется периодической. А наименьшее такое положительное t называется периодом. (Зачем в определении периода наименьшесть – понятно. Ведь любое число вида t+t+…+t также будет как бы периодом)
График периодической функции выглядит понятно как: берется участок графика при х от 0 до t – и копируется вдоль всей горизонтальной оси. Ведь, если точка (x,f(x)) лежит на графике f, то и точки (x+t,f(x)), (x+t+t,f(x)), …, (x+t+t+…+t,f(x)) тоже лежат на графике f