1.5 Предельные теоремы

Если число испытаний n велико , то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям . В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа. а) Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которые вероятность появления события равна р(о<р < 1), событие наступит ровно m раз, выражается приближенным равенством

Функция у(х) - четная, т.е. у(-х)= γ(х). При х>5 можно считать, что γ(x)=0. б) интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n, независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления. события равна р, событие наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, выражается приближенным равенствам

При >5 полагают Ф(х)=5. Функция Лапласа – нечетная, т.е.

Ф(-х)=-Ф(х), Ф(0)=0.

Если число испытаний достаточно велико , а р - мало при, этом не больше 10 ( 10), то вероятность можно найти приближенно по формуле Пуассона: .

Задача 1.5.1

Прибор состоят из 200 деталей, каждая из которых за врем t может выйти из строя с вероятностью р=0 01. Найти вероятность того, что за время t выйдут из строя: а) 3 детали; б) не более 3 деталей; г) от двух до четырех деталей включительно.

Р ешение: В данном случае n=200, m=0.01, q=0.99, m- количество деталей , вышедших аз строя за время t. а) m=3;РЗ;200 по формуле Бернулли равно

Оценим значение

Практически формула непригодна для вычисления. Найдем np=200 0.01=2, меньше 10 Можно использовать формулу Пуассона при X = 2 и m=3; сразу получаем Р3,200 =0.1805; б) - не более 3 деталей вышло из строя

Для вычисления каждого слагаемого используем формулу Пуассона, определяя значения вероятностей по таблице при и при m=0,1, 2,3.

Р200( ) = 0.8572;

в){т > 2}- не менее двух деталей вышло из строя .Здесь следует перейти к противоположному событию m<2. Тогда Р200(m>2)=1-Р0,2ОО –P1,200=0.5940.

г)2< m <1 от двух до четырех деталей включительно за время t вышли из строя следует найти Р200 (2< m < 4)=Р2,200+Р3,200+Р4,200. Используя, формулу Пуассона опять при =2 и m=2,3,4 по таблице находим

Р200

Задача 1.5.2

Вероятность изделию быть, бракованным равна 0.05. Найтивероятность того, что среди 1000 изделий а) 40 бракованных; б) число бракованных находится в промежутке от 40 до 70 включительно; в) сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью, не менее 0,9 среди них оказалось не менее 50 бракованных?

Решение: Испытание изделий на брак удовлетворяет модели испытаний Бернулли Вероятность для каждого изделия быть бракованным, р=0.05, а набракованным q=0.95. Испытаниям подвергаются n=1000 изделий.

a) m=40; Р 40,1000 находим по формуле Муавра Лапласа. Определим необходимые величины: np=50; npq=47,5,