- •03041, Київ, вул. Героїв Оборони, 15 Лекція 1. Означення комплексного числа. Дії над комплексними числами
- •1. Алгебраїчна форма комплексного числа
- •2. Рівність двох комплексних чисел
- •3. Додавання і віднімання комплексних чисел в алгебраїчній формі
- •4. Тригонометрична форма комплексного числа
- •5. Множення комплексних чисел в тригонометричній формі
- •6. Ділення комплексних чисел в тригонометричній формі
- •7. Множення і ділення комплексних чисел в алгебраїчній формі
- •9. Добування кореня із комплексного числа
- •10. Розклад многочлена на множники
- •11. Показникова форма комплексного числа
- •Лекція 3. Деякі застосування комплексних чисел
- •12. 1. Синусоїдальні величини
- •12.2. Електричний ланцюг змінного струму
- •12.3. Зв’язні коливання двох ланцюгів
- •Індивідуальні завдання Вказівки до виконання індивідуальних завдань
- •Література
2. Рівність двох комплексних чисел
Комплексні числа та рівні між собою, якщо рівні між собою окремо їх дійсні частини і уявні частини:
. (3)
Це випливає із рівності двох векторів: два вектори рівні між собою, якщо рівні між собою відповідні проекції векторів.
Зокрема, комплексне число дорівнює нулю, якщо рівні нулю його дійсна і уявна частини: і навпаки, якщо рівні нулю дійсна і уявна частини комплексного числа, то комплексне число дорівнює нулю:
.
3. Додавання і віднімання комплексних чисел в алгебраїчній формі
Розглянемо два комплексні числа та . Їм відповідають вектори та .
Сумою двох векторів є вектор , що з’єднує початок першого вектора з кінцем другого вектора , якщо другий вектор бере свій початок в кінці першого вектора (рис. 3).
Рис. 3 Рис. 4
Проекції вектора суми векторів на координатні осі дорівнюють сумі відповідних проекцій цих векторів, тобто
.
Вектору суми векторів та відповідає комплексне число — сума комплексних чисел та . Отже,
. (4)
Формула, аналогічна формулі (4), має місце і при додаванні будь-якої скінченої кількості комплексних чисел:
.
При додаванні комплексних чисел в алгебраїчній формі окремо додаються дійсні частини комплексних чисел і окремо уявні частини.
Повернемося до запису комплексного числа. Тепер комплексне число можна записати як суму двох комплексних чисел — дійсного числа і суто уявного числа :
.
Отже, комплексне число — це сума дійсного числа і суто уявного числа . Знак у записі надалі розглядається як знак додавання.
Таким чином, маємо алгебраїчну форму комплексного числа
, (5)
де . При цьому в алгебраїчній формі комплексного числа (5) завжди має стояти знак .
Приклад. Нехай . Тут і алгебраїчна форма цього числа має вигляд:
Дію віднімання двох комплексних чисел розглядаємо як дію, обернену до дії додавання.
Нехай та (рис. 4). Знайдемо
, де .
Тоді . Згідно з означенням дії додавання маємо
.
Два комплексні числа рівні між собою, якщо рівні між собою дійсна і уявна частини цих чисел, тобто . Звідки . Отже, різницю комплексних чисел знаходимо за формулою
. (6)
3.1. Cпряженi комплекснi числа
Комплексне число називається спряженим до комплексного числа , якщо в алгебраїчній формі комплексного числа замінити на , тобто
або . (7)
Задане комплексне число і спряжене
до нього розташовані симетрично
відносно осі (рис. 5).
Так, спряженими до чисел
Рис. 5 будуть числа .
3.1.1. Властивості спряжених комплексних чисел
Для спряжених комплексних чисел справедливе твердження:
1. Комплексне число, спряжене до суми комплексних чисел, дорівнює сумі спряжених чисел:
. (8)
Доведення. Cума комплексних чисел та дорівнює
.
Спряжене комплексне число до цієї суми має вигляд
.
З іншої сторони, cума спряжених комплексних чисел дорівнює
.
Порівнюючи останні рівності, бачимо, що твердження (8) справджується.
Приклад. Знайти спряжене число до суми чисел
Розв’язання. Знаходимо суму заданих чисел за формулою (4):
. Згідно з означенням спряженого комплексного числа дістаємо, що .
3.1.2. Мають місце також наступні твердження, які легко перевірити. А саме,
сума комплексного числа і спряженого до нього є дійсне число .
різниця комплексного числа і спряженого до нього є суто уявне число .
Доведення. Маємо
, , тобто дійсно твердження мають місце