Національний університет біоресурсів і природокористування України

Навчально-науковий інститут енергетики і автоматики

Кафедра вищої та прикладної математики

Ю.Б. Гнучій, І.І. Ковтун, Т.А. Скороход

КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА

­

Київ-2010

Курс лекцій з вищої математики включає розділ «комплексні числа», який є важливим для інженерів, зокрема, для майбутніх спеціалістів з електротехніки. Курс лекцій подається у відповідності до типової програми з вищої математики для студентів інженерних спеціальностей вищих аграрних навчальних закладів. Крім лекцій, навчальний посібник включає 30 варіантів індивідуальних завдань, кожний з яких містить 11 задач.

Рекомендовано Методичною комісією навчально-наукового інституту енергетики та автоматики

Рецензенти: доктор фізико-математичних наук М.Н. Феллер,

кандидат фізико-математичних наук О.Ю. Дюженкова

Навчальний посібник

(курс лекцій та індивідуальні завдання)

Гнучій Юрій Борисович

Ковтун Ірина Іванівна

Скороход Тетяна Анатоліївна

КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА

Підписано до друку Формат

Папір офсетний Гарнітура Times Друк офсетний

Уч. друк. арк. Зам. № Наклад 100

Видавничий центр Національного університету біотехнологій та природокористування

03041, Київ, вул. Героїв Оборони, 15 Лекція 1. Означення комплексного числа. Дії над комплексними числами

Як виникла потреба в комплексних числах і чому?

Якщо обмежитись тільки дійсними числами , то не можна знайти розв’язок навіть такого простого рівняння як , тому що корінь квадратний із від’ємного числа не має відповіді серед дійсних чисел.

І взагалі квадратне рівняння розв’язків серед дійсних чисел не має, якщо дискримінант менший нуля: .

До необхідності введення комплексних чисел приводять і геометричні міркування. Точці на числовій осі відповідає дійсне число. І навпаки, дійсному числу відповідає точка на числовій осі. Тобто між дійсними числами і точками числової осі існує взаємно однозначна відповідність. Дійсне число можна зобразити і як відрізок від даної точки до початку координат. Яким числом визначити точку площини?

Ці обставини вимагали розширення поняття числа, а саме, введення чисел, частинним випадком яких були б дійсні числа.

1. Алгебраїчна форма комплексного числа

Розглянемо площину . Кожному вектору, що лежить у цій площині, або кожній точці цієї площини співставимо число, яке називається комплексним числом.

Введемо це число так. Вектору довжини одиниця, напрям якого співпадає із додатним напрямом осі , співставимо дійсне число 1 —одиницю. Вектору довжини одиниця, напрям якого співпадає з додатним напрямом осі , співставимо число — уявну одиницю. Вісь називають уявною віссю. Пізніше пояснимо, що означає число .

Розглянемо вектор (рис. 1). Представимо його як суму векторів

. Вектору відповідає дійсне число , вектору відповідає символ , де — дійсне число.

Рис. 1 Рис. 2

Модуль дорівнює довжині вектора .

Таким чином, вектору співставимо комплексне число, яке має вигляд

(1)

В записі (1) знак не означає дії додавання.

Вираз — єдиний символ для позначення комплексного числа. Повернемося до знаку далі, після введення поняття додавання комплексних чисел.

Дійсні числа та — проекції вектора на координатні осі.

Відкладемо від початку координат вектор такий, що .

Кінець цього вектора, точка , має координати (рис. 2).

Точці площини співспавляємо комплексне число

.

Таким чином, кожній точці площини (кожному вектору) відповідає цілком визначене комплексне число

. (2)

Дійсні числа та розглядаються як координати точки (проекції вектора на координатні осі). При цьому називається дійсною частиною комплексного числа, — уявною частиною: .

Зокрема, якщо вектор паралельний осі , то комплексне число співпадає зі своєю дійсною частиною

.

Отже, дійсні числа — частинний випадок комплексних чисел. Дійсному числу відповідає точка на дійсній осі.

Уявне число записується у вигляді

або просто .

Йому відповідає точка на уявній осі — осі .

Площина називається комплексною площиною і позначається (див. рис. 2).