Лекция 7. Индексы. Назначение и виды индексов

Индекс – относительная величина, показывающая во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях. Различие условий может проявляться во времени (тогда получается индекс динамики), в пространстве (территориальный индекс), в выборе в качестве базы сравнения планового показателя (индекс выполнения плана) и т.п.

Каждый индекс включает 2 вида данных: оцениваемые данные, которые принято называть отчетными и обозначать значком «1», и данные, которые используются в качестве базы сравнения – базисные, обозначаемые значком «0».

Индекс, который строится как сравнение обобщенных величин, называется общим (сводным) и обозначается I. Если же сравниваются необобщенные величины, то индекс называется индивидуальным и обозначается i. Как правило, подстрочно ставится значок, показывающий для оценки какой величины построе индекс. Например, I_q и i_q – это общий и индивидуальный индекс для величины q.

В статистическе индексы используются не только для сопоставления уровней изучаемого явления, но и для определения экономической значимости факторов, объясняющих абсолютное различие сравниваемых уровней.

В зависимости от сложности сравниваемых уровней принято выделять 2 типа индексов: индивидуальные и общие.

Индивидуальные индексы

Относительная величина, получаемая при сравнении уровней, называется индивидуальным индексом, если не имеет значения структура изучаемого явления. Индивидуальные индексы обозначаются i. Расчет индивидуальных индексов прост: их определяют вычислением отношения двух индексируемых величин, то есть по формуле (2).

Например, если уровень товарооборота в виде суммы выручки от продажи товара в условиях отчетного периода сравнивается с аналогичным показателем базисного периода, то в итоге получаем индивидуальный индекс выручки (2), показывающий во сколько раз изменилась (или сколько процентов составляет) выручка в отчетном периоде по сравнению с базисным:

i_Q=Q₁/Q₀. (2)

Разность между числителем и знаментелем формулы (2) представляет собой абсолютное изменение выручки (2), показывающее на сколько в денежных единицах (например, рублях) изменилась выручка в отчетном периоде по сравнению с базисным:

∆Q = Q₁ – Q₀. (2)

Аналогично определяются индивидуальные индексы можно для любого интересующего показателя (производительности, заработной платы, себестоимости и т.д.).

В частности, поскольку сумма выручки определяется ценой товара p (от англ. «price») и количеством (физическим объемом, или объемом продаж в натуральном выражении) q (от англ. «quantity») т.е. можно определить соответствующие индивидуальные индексы – цены (2) и количества (2):

i_p=p₁/p₀, (2) i_q=q₁/q₀. (2)

Очевидно, что произведение индивидуальных индексов цены и количества дает индивидуальный индекс выручки (2):

i_Q=i_qi_p. (2)

Например, вчера бабушка торговала семечками по 5 руб. за кулёк и всего продала 50 кульков, а сегодня – по 7 руб. и продала 20 кульков. Определим индивидуальный индекс цены по формуле (2): i_p = 7/5 = 1,4, то есть бабушка увеличила цену семечек в 1,4 раза, или на 40%. Рассчитаем индивидуальный индекс количества по формуле (2): i_q = 20/50 = 0,4, то есть количество проданных семечек сегодня составило 40% от вчерашнего, то есть уменьшилось на 60%. Найдем индивидуальный индекс выручки по формуле (2): i_Q = 0,4*1,4 = 0,56, то есть выручка сегодня составила 56% от вчерашней, то есть она уменьшилась на 44%. Рассчитав выручку вчера Q₀ = 50*5 = 250 (руб.) и сегодня Q₁ = 20*7 = 140 (руб.), можно получить аналогичный результат по формуле (2): i_Q = 140/250 = 0,56. Очевидно, что абсолютное изменение выручки по формуле (2) составило: ∆Q = 140 – 250 = –110 (руб.), то есть выручка уменьшилась на 110 руб. (или на 44%), что объясняется изменением количества проданных семечек в 0,4 раза (уменьшением на 60%) и изменением их цены в 1,4 раза (повышением цены на 40%).

Подставим формулу (2) в формулу (2) и выразим выручку отчетного периода:

Q₁=i_qi_pQ₀. (2)

Формула (2) представляет собой двухфакторную мультипликативную индексную модель итогового показателя, в данном случае – выручки, посредством которой находят изменение этого показателя под влиянием каждого фактора (цены и количества) в отдельности (факторный анализ), то есть:

∆Q = ∆Q_q + ∆Q_p, (2)

где ∆Q_q – изменение выручки под влиянием изменения количества товара q (экстенсивный фактор);

∆Q_p – изменение выручки под влиянием изменения цены p товара (интенсивный фактор).

Для проведения факторного анализа по формуле (2) необходимо определить очередность влияния факторов на результативный показатель (выручку), которая может быть следующей:

1) сначала менялось количество q, а затем цена p (то есть количество – это 1-ый фактор, а цена – 2-ой)¹⁹;

2) сначала менялась цена p, а потом количество q (то есть цена – это 1-ый фактор, а количество – 2-ой).

В соответствии с этой очередностью влияния факторов запись факторов в мультипликатиавной модели: то есть формула (2) – это ее запись для количества как 1-го фактора и цены как 2-го. В случае, когда цена является 1-ым фактором, а количество – 2-ым, необходимо мультипликативную модель записывать в виде (2), то есть меняя факторы местами:

Q₁=i_pi_qQ₀. (2)

Чтобы найти изменение результативного показателя на основе мультипликативной модели за счет 1-го фактора, необходимо исключить влияние остальных факторов. Тогда при использовании формулы (2) влияние 1-го определяем по формуле (2), а при использовании формулы (2) – по формуле (2):

∆Q_q= i_qQ₀ –Q₀ = (i_q – 1)Q₀, (2) ∆Q_p= i_pQ₀ –Q₀ = (i_p – 1)Q₀. (2)

В нашем примере про бабушку сначала изменилась цена, то есть цена – это 1-ый фактор, а количество – 2-ой, значит необходимо использовать формулу (2) и, как следствие, влияние 1-го фактора – цены определяем по формуле (2): ∆Qp= (1,4–1)*250 = 100 (руб.), то есть повышение цены семечек с 5 до 7 руб. за кулёк должно было увеличить сегодняшнюю выручку на 100 руб., однако выручка уменьшилась на 110 руб., значит – это отрицательное влияние 2-го фактора – изменение количества.

Чтобы найти изменение результативного показателя на основе мультипликативной модели за счет 2-го фактора, необходимо из общего изменения результативного показателя вычесть его изменение под влиянием только 1-го фактора. Тогда, подставляя формулы (2) и (2) в формулу (2), можно выразить влияние второго фактора – цена:

∆Q_p = ∆Q – ∆Q_q = (Q₁ – Q₀) – (i_qQ₀ –Q₀) = i_qi_pQ₀ – Q₀ – i_qQ₀ +Q₀ = (i_qi_p – 1 – i_q + 1)Q₀ = i_q (i_p–1)Q₀.

В итоге получим формулу для расчета влияния второго фактора – цена (2):

∆Q_p = i_q (i_p–1)Q₀. (2)

Аналогично, подставляя формулы (2) и (2) в формулу (2) выводится формула для определения влияния второго фактора – количества:

∆Q_q = ∆Q – ∆Q_p = (Q₁ – Q₀) – (i_pQ₀ –Q₀) = i_pi_qQ₀ – Q₀ – i_pQ₀ +Q₀ = (i_pi_q – 1 – i_p + 1)Q₀ = i_p (i_q–1)Q₀.

В итоге получим формулу для расчета влияния второго фактора – количества (2):

∆Q_q = i_p (i_q–1)Q₀. (2)

В нашем примере про бабушку изменение выручки под влиянием второго фактора – количества определим по формуле (2): ∆Q_q = 1,4*(0,4–1)*250 = –210 (руб.), то есть снижение количества проданных семечек с 50 кульков до 20 уменьшило выручку на 210 руб. Проверка правильности расчета влияния факторов осуществляется по формуле (2): ∆Q = 100 + (–210) = –110, что совпадает с общим изменением выручки, рассчитанным ранее по формуле (2).

В статистике нередки случаи использования индексных моделей с тремя и более факторными индексами²⁰. В случае необходимости проведения факторного анализа таких моделей применяется метод Чалиева: для определения влияния i-го фактора на результативный показатель необходимо его базисную величину умножить на индексы факторов, влиявших на него с 1-го до i-го фактора и на темп изменения самого i-го фактора. Темп изменения определяется по формуле (2), то есть надо из индекса вычесть единицу (100%).

Например, общая сумма материальных затрат (M) зависит от объема производства продукции (q), от расхода данного материала на единицу продукции – удельного расхода (m) и от цены единицы данного материала (p) т.е. M = qmp. Сравнивая сумму материальных затрат в отчетном периоде с суммой материальных затрат базисного периода получаем (если q - 1-ый фактор, m – 2-ой и p – 3-ий):

или (2)

Тогда, применяя метод Чалиева, изменение общей суммы материальных затрат ∆M = M₁ – M₀ объясняется:

1) изменением объема продукции ∆M_q = T_qM₀ = (i_q – 1)M₀;

2) изменением удельного расхода материала ∆M_m = i_qT_mM₀ = i_q(i_m – 1)M₀;

3) изменением цены на материал ∆M_p = iqi_mT_pM₀ = i_qi_m(i_p – 1)M₀.