Оценка адекватности тренда и прогнозирование

Для найденного уравнения тренда необходимо провести оценку его надежности (адекватности), что осуществляется обычно с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическим (табличным) значением F_Т (Приложение 4). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле (2):

, (2)

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда.

Для проверки правильности расчета сумм в формуле (2) можно использовать следующее равенство (2):

. (2)

В нашем примере про ВО равенство (2) соблюдается (необходимые суммы рассчитаны в трех последних столбцах табл. 11): 89410,434 = 9652,171 + 79758,263.

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется при заданном уровне значимости¹⁵ с учетом степеней свободы: и . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Проверим тренд на адекватность в нашем примере про ВО по формуле (2):

F_Р = 79758,263*5/(9652,171*1) = 41,32 > F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т = 6,61 находим по Приложению 4 в 1-ом столбце [ = k – 1 = 2 – 1 = 1] и 5-й строке [ = n – k = 5]).

Как уже было отмечено ранее, в нашем примере про ВО России можно произвести выравнивание не только по прямой линии, но и по параболе, чего делать не будем, так как уже найденный линейный тренд адекватно описывает тенденцию¹⁶.

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (2):

, (2)

где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; – коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n–1 (Приложение 2)¹⁷; – ошибка аппроксимации, определяемая по формуле (2):

. (2)

Спрогнозируем ВО России на 2007 и 2008 годы с вероятностью 0,95 (значимостью 0,05), для чего найдем ошибку аппроксимации по формуле (2): = = 43,937 и найдем коэффициент доверия по распределению Стьюдента по Приложению 2: = 2,4469 при = 7 – 1= 6.

Прогноз на 2007 и 2008 годы с вероятностью 0,95 по формуле (2):

Y₂₀₀₇ = (257,671+53,371*4) 2,4469*43,937 или 363,6<Y₂₀₀₇<578,7 (млрд. долл.);

Y₂₀₀₈ = (257,671+53,371*5) 2,4469*43,937 или 417,0<Y₂₀₀₈<632,0 (млрд. долл.).

Как видно из полученных прогнозов, доверительный интервал достаточно широк (из-за достаточно большой величины ошибки аппроксимации). Более точный прогноз можно получить при выравнивании по параболе 2-го порядка¹⁸.

Анализ сезонных колебаний

В рядах динамики, уровни которых являются месячными или квартальными показателями, наряду со случайными колебаниями часто наблюдаются сезонные колебания, под которыми понимаются периодически повторяющиеся из года в год повышение и снижение уровней в отдельные месяцы или кварталы.

Сезонным колебаниям подвержены внутригодовые уровни многих показателей. Например, расход электроэнергии в летние месяцы значительно меньше, чем в зимние; или рыночные цены на овощи в отдельные месяцы далеко не одинаковы.

При графическом изображении таких рядов сезонные колебания проявляются в повышении и снижении уровней в определенные месяцы (кварталы). В качестве иллюстрации рядов с сезонными колебаниями могут служить данные, представленные в табл. 12 и их графическое изображение (рис. 8).

Таблица 12. Динамика производства мороженого предприятием по месяцам, тонн

Номер строки	Год	Месяц t
		январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
1	2004	30	35	45	55	58	64	69	52	42	35	33	31
2	2005	37	40	44	52	46	70	60	48	46	38	36	35
3	2006	33	39	42	56	62	73	65	56	39	35	31	28
4	Итого	100	114	131	163	166	207	194	156	127	108	100	94
5		33,333	38,000	43,667	54,333	55,333	69,000	64,667	52,000	42,333	36,000	33,333	31,333
6		0,723	0,824	0,947	1,178	1,200	1,496	1,402	1,128	0,918	0,781	0,723	0,680

Рис. 8. Динамика производства мороженого предприятием по месяцам, тонн

Вместо месячных показателей могут быть квартальные.

При изучении рядов динамики, содержащих «сезонную волну», ее выделяют из общей колеблемости уровней и измеряют. Существует 2 основных метода для решения этой задачи: расчет индексов сезонности и гармонический анализ.

Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в определенный момент или интервал времени t больше среднего уровня, либо уровня, вычисляемого по уравнению тренда ( ). Способы расчета индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия тренда. Если тренда нет или от незначителен, то для каждого месяца (квартала) индекс сезонности определяется по формуле (2):

, (2)

где Y_t – уровень ряда динамики за месяц (квартал) t;

– средний уровень всего ряда динамики.

Индексы сезонности желательно рассчитывать для рядов динамики, длиной в несколько лет, тогда формула индекса сезонности примет следующий вид:

, (2)

где – средний уровень ряда динамики по одноименным месяцам t за T лет.