Лекция № 28

Механические волны

План.

1. Механизм образования механических волн в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Волновое уравнение и его решение. Гармонические волны и их характеристики.

2. Фазовая скорость и дисперсия волн. Волновой пакет и групповая скорость.

3. Понятие о когерентности. Интерференция волн. Стоячие волны.

4. Эффект Доплера для звуковых волн.

1. Механизм образования механических волн в упругой среде.

Если в каком-либо месте упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t называется фронтом волны (волновым фронтом). В зависимости от формы фронта волна может быть сферической, плоской и др.

Волна называется продольной, если направление смещения частиц среды совпадает с направлением распространения волны.

Продольная волна распространяется в твердых, жидких и газообразных средах.

Волна называется поперечной, если смещение частиц среды перпендикулярно направлению распространения волны. Поперечная механическая волна распространяется только в твердых телах (в средах обладающих сопротивлением сдвигу, поэтому в жидкостях и газах такая волна распространиться не может).

Волновое уравнение и его решение.

Уравнение, позволяющее определить смещение (х,t) любой точки среды с координатой х в любой момент времени t называется уравнением волны.

Например, уравнение плоской волны, т.е. волны, распространяющейся в одном направлении, например в направлении оси х, имеет вид

(28-1)

,

где (х,t) – смещение точек через время t, за которое волна распространяется на расстояние х = t ( - скорость распространения волны).

Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны

Введем величину , которая называется волновым числом.

Е

Вектор показывает направление распространения волны в данной точке волнового фронта (рис.28.1).

Перепишем выражение (28-1) в виде

.

Преобразуем отношение

.

Тогда уравнение волны запишется в виде

.

(28-2)

сли умножить волновое число на единичный вектор направления распространения волны , то получится вектор, называемый волновым вектором

Рис.28.1

На рис.28.2 представлено графическое изображение волны

а) Зависимость смещения точек среды от координаты при фиксированном времени.

б) Зависимость смещения точек среды от времени при фиксированной координате.

t = const

х

а)

Т

t

б)

x = const

Т

Рис.28.2

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением

С помощью оператора Лапласа (лапласиана) это уравнение можно записать более кратко

В случае плоской волны волновое уравнение

(Решением этого уравнения является уравнение волны (28-1), (28-2).)

2. Фазовая скорость и дисперсия волн. Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (28-1)

. (28-3)

Продифференцируем (28-3), получим

Значение дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы.

Таким образом, скорость распространения волны в уравнении (28-1) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

Если фазовая скорость волн в некотором частном интервале постоянна (т.е. не зависит от ), то говорят, что дисперсия отсутствует.

Дисперсия – это зависимость фазовой скорости гармонической волны от ее частоты . Примером волны без дисперсии является электромагнитная волна в вакууме.