Волновой пакет и групповая скорость.

Строго монохроматическая волна вида представляет собой бесконечную во времени и в пространстве последовательность «горбов» и «впадин», перемещающихся вдоль оси х с фазовой скоростью

(28-4)

Реальная волна всегда ограничена в пространстве и во времени и поэтому не является строго монохроматической.

Реальную волну, близкую к монохроматической, можно представить в виде суперпозиции (независимого наложения) большого числа волн – группы волн, мало отличающихся по частоте и занимающих ограниченную область в пространстве.

Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом (или группой волн).

При фиксированном времени t график функции, описывающей группу волн или волновой пакет, представлен на рис.28.3.

х

t = const

Рис.28.3

Для пакета имеет место соотношение . Чем меньше (диапазон частот, длин волн), тем больше и наоборот.

В недиспергирующей среде все волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью . Очевидно, что в этом случае скорость движения пакета совпадает с фазовой, форма пакета со временем не изменяется. В диспергирующей среде (среде с дисперсией) волновой пакет расплывается, поскольку скорости его монохроматических составляющих отличаются друг от друга. Если дисперсия мала, расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. В этом случае пакету можно приписать скорость U, под которой понимается скорость перемещения огибающей пакета, которую называют групповой скоростью.

На рис.28.4 показано положение волнового пакета для трех последовательных моментов времени и .

х

х

х

Наклон пунктирных кривых, соединяющих точки одинаковой фазы,

характеризует фазовую скорость; наклон штрихпунктирных кривых, соединяющих соответствующие точки огибающей пакета (начала и концы) характеризует групповую скорость пакета. Если при распространении сигнала в виде волнового пакета максимумы и минимумы

движутся быстрее, чем огибающая,

Рис.28.4

то это означает, что фазовая скорость данной группы волн превышает ее групповую скорость (как на рис.28.4).

Получим формулу для групповой скорости на примере волнового пакета из двух волн и несколько отличными друг от друга частотами. Пусть уравнение этих двух монохроматических волн имеют вид

В результате их сложение (наложение) образуется суммарная волна

.

Это выражение можно рассматривать как уравнение монохроматической волны, амплитуда которой меняется по закону

(28-5)

Нас будет интересовать скорость, с которой перемещается место с максимальной амплитудой – это и будет скорость волнового пакета – групповая скорость. Из выражения (28-5) следует, что точки, соответствующие, например, максимуму амплитуды (значение cos равно 1), движутся по закону

,

откуда Величина в скобках и есть групповая скорость

(28-6)

Связь фазовой и групповой скоростей (без вывода):

.

В отсутствии дисперсии и групповая скорость совпадает с фазовой.