5 Задачи

Задача 1. Рассмотрим систему S , представляющую собой два окна в операцион­ном зале банка: первое — «Коммунальные платежи» и второе — «Операции по вкладам».

Так как система S состоит из двух «узлов» (два окна), то удобно воспользо­ваться двухиндексной нумерацией ее состояний. А именно, обозначая состояния узлов «окно свободно» и «окно закрыто» соответственно индексами 0 и 1, со­стояние системы S будем обозначать буквой S с двумя индексами, первый из ко­торых является индексом состояний первого узла (первого окна «Коммунальные платежи»), а второй — второго узла (второго окна «Операции по вкладам»).

Тогда система S может пребывать в одном из следующих четырех состояний: S₀₀— оба окна свободны; S₀₁ — первое окно свободно, а второе занято; S₁₀ — первое окно занято, а второе свободно; S₁₁ — оба окна заняты.

В случае, когда система состоит из двух узлов, ее состояния можно свести в матрицу, число строк которой равно числу состояний первого узла, а число столбцов — числу состояний второго узла. В данном случае матрица состояний системы S

S₀₀ S₀₁

S₁₀ S₁₁

является квадратной второго порядка.

Обоснуйте, что процесс, протекающий в системе S , является марковским дис­кретным случайным процессом.

Постройте граф состояний системы S. При этом учтите, что перескок системы из состояний S₀₀ в состояние S₁₁ означает, что свободные окна в одно и то же мгновение стали занятыми. Это в принципе возможно, но мало вероятно. Поэтому считается, что практически такой перескок невозможен и поэтому на графе стрелки S₀₀ -> S₁₁ не будет. То же относится к стрелкам S₁₁-> S₀₁, S₁₀-> S₁₁ , S₀₁-> S₁₀

Постройте какую-нибудь реализацию случайного процесса, протекающего в системе S, приписав ее состояниям различные чиловые значения.

Выясните, имеются ли у системы S состояния без входа, без выхода, множе­ства без входа, множества без выхода. Является ли система S эргодической?

Задача 2. Банк для проверки купюр на подлинность использует детектор валют SUPER SCAN и ультрафиолетовый детектор ТUV-2, который по качеству усту­пает первому. Будем рассматривать следующие состояния:

• для детектора SUPER SCAN: 1) не эксплуатируется; 2) находится в экс­плуатации;

• для ультрафиолетового детектора ТUV-2: 1) исправен, но не эксплуатирует­ся; 2) эксплуатируется; 3) не эксплуатируется из-за неисправности. Охарактеризуйте процесс, протекающий в системе S . Составьте матрицу со­стояний системы S и укажите ее размер. Постройте граф состояний системы S , предположив, что детектор ТUV-2 может выходить из строя только момент работы. Выясните, есть ли у системы S состояния без входа, состояния без выхода, множе­ства состояний без входа, множества состояний без выхода. Является ли система эргодической? Постройте какую-нибудь реализацию данного процесса.

6 Контрольные вопросы

1. Какой процесс называется случайным? Приведите примеры.

2. Какой случайный процесс называется марковским?

3. Что представляет собой граф состояний системы?

4. Какие случайные процессы называются дискретными?

5. Какие случайные процессы называются непрерывными?

6. Дайте определение состояния без выхода, без входа.

7. Определите множество состояний без выхода, множество состояний без входа.

8. Какая система называется эргодической?

9.Объясните, что такое реализация случайного процесса за определенный промежуток времени.