2 Пример 1

Пример 1. На рис. 1. изображен граф системы S с восемью состоя­ниями s₁—s₈, с возможными непосредственными переходами ,

Рис. 1. Граф состояний системы s (число возможных состояний которой 8)

Например, переход из состояния S₃ в состояние S₈ возможен через состояние S₇ и потому является опосредованным; непосредственный же переход S₃ ->S₈ невозможен, поскольку на графе отсутствует соответствующая стрелка.

Определение 5. Группа состояний системы называется множеством без выхода, если система однажды попав в него, может из любого его состояния перейти за конечное число шагов в любое другое его состояние, но никогда не мо­жет выйти из этого множества.

В частности, если множество без выхода состоит из единственного состояния, то последнее называется состоянием без выхода, которое также называется поглощающим или ловушкой.

Состояния S₆, S₇, S₈ на рис. 1 образуют множество без выхода, а состояние S₂ является состоянием без выхода.

Определение 6. Группа состояний системы называется множеством без входа, если система, находясь в этом множестве, может из любого его состояния перейти за конечное число шагов в любое другое его состояние, но выйдя однажды из этого множества, система уже никогда в него не возвратится.

В частности, если множество без входа состоит из единственного состояния, то последнее называется состоянием без входа, которое также называется неустойчивым или неустановившимся.

На рис. 1. состояния S₄ и S₅ образуют множество без входа, а состояние S₃ является состоянием без входа.

Определение 7. Система называется эргодической, если она из любого сво­его состояния может перейти за конечное число шагов в любое другое состояние.

Ясно, что эргодическая система не имеет состояний без входа, состояний без выхода, множеств без входа, множеств без выхода.

Система с графом состояний на рис. 1 не является эргодической. Пример графа состояний эргодической системы приведен на рис 2.

Рис. 2. Граф состояний эргодической системы

Изучение любой системы, в которой протекает марковский дискретный случайный процесс, следует начинать с четкого описания всех интересующих нас состояний, в которых может пребывать система, и построения графа этих состоя­ний.

В любой фиксированный момент времени t = t^! система S, в которой протекает марковский дискретный случайный процесс, может находиться только в одном из своих возможных состояний s_1, s_2….. но неизвестно в каком именно. Т.е. состоя­ние S(t') может быть одним из состояний s_1, s₂ …. Чтобы S(t) интерпретировать как (дискретную) случайную величину надо каждое состояние охарактеризовать количественно. Это можно сделать различными способами.

Например, припишем каждому состоянию si =1,2… в качестве количественной характеристики его номер т.е. si=i . Тогда S(t') будет представлять собой дискретную случайную величину с множеством значений {1,2,...}.

Определение 8. Дискретную случайную величину S(t') называют сечением случайного процесса, протекающего в системе S, в момент времени t'.

Очевидно, что соответствие t -> S(i) будет являться дискретной случайной функцией времени t.

Если провести наблюдение за процессом в системе S в течение некоторого промежутка времени от t₀ до t₀+ , то случайная величина S(t) в каж­дый момент времени t [t₀, t₀ + t] примет конкретное числовое значение, в ре­зультате чего мы получим уже не случайную, а обычную дискретную функцию, которая называется реализацией данного процесса, за временной промежуток [t₀, t₀ + t].

Для выполнения однозначности функции будем считать, что в момент пере­скока система находится в состоянии, в которое она перескочила, а не в состоя­нии, из которого она перескочила.