13

министерство сельского хозяйства российской федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра статистики и информационных систем в экономике

ОПД.Р.02 ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Лабораторные занятия №16. Решение задач теории массового обслуживания

Методические указания

Специальность 080502 Экономика и управление на предприятии

(в аграрном производстве)

Уфа 2006

УДК 519.8

ББК 22.18

Л 12

Рекомендовано к изданию методической комиссией экономического факультета (протокол № 7 от «_29__» мая 2006 г.)

Составитель: ст. преподаватель Сагадеева Э. Ф.

Рецензент: к.т.н., доцент кафедры информатики и информационных технологий Дидык Т. Г.

Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой статистики и информационных систем в экономике д.э.н., профессор Рафикова Н.Т.

Оглавление

1.Теоретическое введение	4
2.Примеры	7
3. Задачи для самостоятельного решения	10
4. Контрольные вопросы	11
Библиографический список	12

1. Теоретическое введение

Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную роль играют системы специального вида, реализующие многократное выполнение достаточно однотипных задач. Подобные системы называют системами массового об­служивания (СМО). В качестве примеров СМО в финансово-экономической сфере можно привести системы, представляющие собой банки различных типов (коммер­ческие, инвестиционные, ипотечные, инновационные, сберегательные), страховые организации (государственные, акционерные общества, компании, фирмы, ассо­циации, кооперативы), налоговые инспекции, аудиторские службы, различные сис­темы связи (в том числе телефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплек­сы (порты, товарные станции), автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания (магазины, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, пункты по обмену валюты, ремонтные мастерские, больницы).

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, которые называют каналами (приборами, линиями) обслуживания. Роль каналов могут играть различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, парикмахеры, продавцы), линии связи, ав­томашины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные пути, бензоколонки и т.д.СМО могут быть одноканальными или многоканальными.

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты времени. Потоком событий (в данном случае заявок) называют последовательность событий, на­ступающих одно за другим в какие-то, вообще говоря, заранее неизвестные, случайные моменты времени.

Обслуживание заявок, вообще говоря, также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное, ко­торое зависит от многих случайных, порой неизвестных нам, причин. После об­служивания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к не­равномерной загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться необслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же другие интервалы времени при свободных каналах на входе СМО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию ее каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо «становятся» в очередь, либо по какой-то причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.

Во всякой СМО можно выделить следующие четыре основ­ных элемента: 1) входящий поток заявок; 2) очередь; 3) каналы обслуживания; 4) выходящий поток обслуженных заявок.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров — характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности, от правил организации ра­боты, — обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

Случайный характер потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный процесс. Случайным процессом (или случайной функцией) называется соответствие, при котором каж­дому значению аргумента (в данном случае — моменту из промежутка времени проводимого опы­та) ставится в соответствие случайная величина (в данном случае — состояние СМО).Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять одно, но неизвестно заранее какое именно, числовое значение из данного числового множества.

Математическое изучение функционирования СМО значительно упрощается, ес­ли протекающий в ней случайный процесс является марковским. Известно, что для марковости случайного процесса необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы системы из состояния в состояние, были пуассоновскими. Поток событий, обладающий свойствами отсутствия последействия (для любых двух непересе­кающихся промежутков времени, число событий, наступающих за один из них, не зависит от числа событий, наступающих за другой) и ординарностью (вероятность наступления за элементарный — малый промежуток времени более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток времени одного события), называется пуассоновским.

В СМО по­токами событий являются потоки заявок, потоки «обслуживаний» заявок и т. д. Если СМО такова, что хотя бы один из потоков не является пуассоновским, то характеристики ее эффективности все могут быть приближенно оценены с помощью «марковской» теории массового обслуживания. При этом чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания — тем точнее оказываются при­ближенные формулы, полученные при предположении выполнимости в СМО «марковских» условий.

В зависимости от характера потоков СМО можно разделить на марковские и немарковские.

Под марковской СМО будем понимать систему, в которой все потоки собы­тий, переводящие ее из состояния в состояние, пуассоновские.

Если хотя бы один из потоков не является пуассоновским, то СМО будет на­зываться немарковской. Например, в системах со строго выполняющимся расписанием, с ленточным конвейером и им подобных поток входящих заявок является регулярным и, следовательно, не является пуассоновским. Поток событий называется регулярным, если события в нем следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Далее все рассматриваемые СМО будем считать марковскими.

По числу каналов СМО подразделяются на одноканальные (когда имеется один канал) и многоканальные, точнее n-канальные (когда имеется п > 2 каналов). В последнем случае будем пред­полагать, что каждый канал одновременно может обслуживать только одну заяв­ку и, если не оговорено специально, каждая находящаяся под обслуживанием за­явка обслуживается только одним каналом. Многоканальные СМО могут состоять из однородных каналов, либо из различных, отличающихся длительно­стью обслуживания одной заявки. Практически время обслуживания каналом од­ной заявки Т_об является непрерывной случайной величиной. Однако при условии абсолютной однородности поступающих заявок и каналов, время обслуживания может быть и величиной постоянной Т_об = const.

В зависимости от дисциплины обслуживания СМО делятся на три класса:

1 ) с отказами (с нулевым ожиданием или с явными потерями),

в которых за­явка, поступившая на вход СМО в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ» и покидает СМО («пропадает»). Чтобы эта заявка все же была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заяв­ка, поступившая впервые.

Примером СМО с отказами может служить работа АТС; если набранный телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и, чтобы дозвониться по этому номеру, надо его набрать еще раз (заявка поступает на вход как новая);