Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТМ141-321.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
21.08.2019
Размер:
2.59 Mб
Скачать

4.3.9. Моменты инерции

Движение механической системы материальных точек зависит не только от массы системы, но и от распределения этой массы. Так, из двух маховиков одинаковой массы (веса) быстрее раскрутится при одинаковых силах маховик меньшего диаметра. Распределе­ние масс в механической системе характеризуется моментами инер­ции. Различают следующие мо­менты инерции:

осевые

полярный JО;

центробежные

О севой момент инерции равен сумме произведений массы тk каждой точки системы на квадрат ее расстоя­ния до соответствующей оси (рис. 4.38); Полярный момент инерции равен сумме произведе­ний массы каждой точки на квадрат ее

Рис. 4.38 расстояния до начала координат:

,

, (4.60)

.

Из данных выражений следует, что

. (4.61)

Действительно,

+

=2JО.

Центробежный момент инерции равен алгебраической сумме произведений массы каждой точки системы на произведение ее соответствующих координат:

,

. (4.62)

,

Если относительно какой-либо системы координат цент­робежные моменты равны нулю, то оси этой системы называются главными осями инерции в начале коорди­нат. Если же начало этой системы координат совпадает с центром масс, то такие оси называются главными, центральными осями инерции. Главными осями являют­ся: 1) ось материальной симметрии системы материаль­ных точек, 2) ось, перпендикулярная плоскости матери­альной симметрии системы материальных точек и име­ющая начало в плоскости симметрии.

Момент инерции твердого тела относительно заданной оси, например оси Oz, можно представить в виде про­изведения массы тела на квадрат линейной величины, называемой радиусом инерции тела относительно этой оси:

, (4.63)

где М — масса тела, ρz — радиус инерции тела относительно оси Оz.

Данная формула показывает, что радиус инерции ρz определяет расстояние от оси Oz до материальной точки, в которой нужно сосредоточить всю массу М тела, что­бы момент инерции полученной точки относительно данной оси равнялся моменту инерции те­ла. Моменты инерции измеря­ются в кг·м2.

Н айдем зависимость между моментами инерции тела отно­сительно параллельных осей z и z', одна из которых, ось z', проходит через центр масс С те­ла (рис. 4.39). Проведем остальные оси

Рис. 4.39 так, как это показано на рисунке, и обозначим через d расстояние между ося­ми Oz и Cz'. Момент инерции тела относительно оси Сz' равен

,

а относительно оси Oz

.

Координаты точки Мk в системах Oxyz и Cx'y'z' связаны соотношениями , + d. Подставим эти значения в выражение для Jz:

= =

= .

Но = , ,

где М— масса те­ла, a , так как начало координат системы Cx'y'z' находится в центре масс тела. Следовательно,

+ Md2. (4.64)

Это уравнение выражает теорему Гюйгенса — Штейнера: момент инерции системы материальных точек от­носительно какой-либо оси равен ее моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, плюс произведение массы системы на квад­рат расстояния между этими, осями.

Из теоремы следует, что наименьший момент инерции — это момент относительно оси, проходящей через центр масс системы.