2.1. Плоская система сил

2.1.1. Силы, сходящиеся в одной точке

Уравнения равновесия твердого тела, находящегося под действием сил, сходящихся в одной точке

. (57)

В (57) входят как силы активные, так и реакции свя­зей, наложенных на тело. Если на тело действуют сходя­щиеся силы, лежащие в одной плоскости, то уравнений равновесия будет два. При решении некоторых задач можно использовать теорему о трех силах: Если твердое тело находится в равновесии под дейст­вием трех сил и линии действия двух из этих сил пере­секаются, то линия действия третьей силы проходит через эту точку пересечения и все три силы лежат в од­ной плоскости.

Если на покоящееся тело наложены связи с трением, то к уравнениям равновесия с учетом сил трения следует присоединить дополнительное условие

F_тр = fN, (58)

где f - коэффициент трения скольжения при покое; N - модуль нормальной реакции.

Задачи на равновесие твердого тела под действием системы сходящихся сил можно решать геометрическим и аналитическим методами.

Первым методом удобно пользоваться лишь для пло­ской системы сил и особенно в тех случаях, когда общее число сил, действующих на тело, равно трем. При равно­весии тела треугольник, построенный на этих силах, дол­жен быть замкнутым.

Аналитическим методом можно пользоваться также и для пространственной системы сил при любом числе сил. При этом следует иметь в виду, что общее число неиз­вестных в задаче должно быть не больше трех для про­странственной системы сходящихся сил и не больше двух для плоской системы сходящихся сил.

Пример 1. Груз M весом Р (рис. 178,а) подвешен на гибком нерастяжимом тросе ОМ₁, отклоненном от верти­кали на угол α, и удерживается в равновесии с помощью другого гибкого нерастяжимого троса М₁АМ₂ охватываю­щего идеальный блок А и несущего на свободном конце груз М₂. Считая, что при равновесии участок троса М₁А горизонтален, определить вес Q груза M₂ и натяжение троса ОМ₁. Размерами груза М₁ и весом тросов пре­небречь.

Решение. Рассмотрим равновесие груза M₁. Активными силами являются вертикально направленная сила и горизонтально направленная сила , равная весу груза Q, так как идеальный блок A изменяет только направление силы.

На груз М₁ наложена связь, осуществляемая тросом OM₁. Осво­бодим его от связи. Реакция связи направлена по тросу вверх. Таким образом, груз M₁ находится в равновесии под действием плоской сходящейся системы трех сил: , и причем T₂ = Q (рис. 178,б).

Решим эту задачу двумя способами: геометрическим и аналити­ческим.

Рис. 178

Геометрический способ. Так как точка M₁ находится в равновесии под действием трех сил, то силовой треугольник, по­строенный на этих силах, должен быть замкнутым (рис. 178, в). Построение силового треугольника следует начинать с заданной силы .

Изобразив вектор , проводим через его начало и конец прямые, параллельные направлениям сил и . Точка пересечения этих прямых определит третью вершину силового треугольника. Ориен­тация всех векторов должна быть такова, чтобы силовой треуголь­ник был замкнутым. Это дает возможность проверить правильность направления неизвестных реакций.

Из силового треугольника находим

T₂ = P tg α; T₁= P/cos α.

Таким образом, вес Q груза М₂, равный , будет

Q = P tg α,

а натяжение троса OM₁ численно равно Т₁ = P/cos α.

Аналитический способ. Выберем оси координат так, чтобы уравнения равновесия имели наипростейший вид. Этого можно добиться, проводя оси перпендикулярно неизвестным силам, при этом они могут оказаться не ортогональными (оси M₁y и М₁у'). Обычно пользуются ортогональными осями. Проведем ось М₁у перпендику­лярно неизвестной силе а ось М₁х - горизонтально.

Система приложенных сил , , - плоская сходящаяся система, для которой существуют два уравнения равновесия. В за­даче две неизвестные величины: Т₁ и Т₂, т. е. задача статически определима.

Составим уравнения равновесия в форме (1):

Отсюда находим

T₁ = P/cos α; T₂ = T₁ sin α = P tg α..

Если воспользоваться осями М₁у и М₁у', то получим

В каждое из этих уравнений входит только по одному неизвест­ному, что упрощает их нахождение.

Пример 2. Однородный цилиндр A весом Р и радиу­сом r (рис. 179, а) опирается на гладкую поверхность ци­линдра В радиусом R и удерживается в равновесии с помощью нити CD длиной l, расположенной в попереч­ной плоскости симметрии. Определить натяжение нити и реакцию цилиндрической поверхности.

Решение. Рассмотрим равновесие цилиндра A. На него действует сила , направленная вертикально вниз. Связями являются гладкая цилиндрическая поверхность В и нить CD. Освободимся от связей.

Рис. 179

Реакция (рис. 179, б) цилиндрической поверхности направлена по общей нормали к цилиндрам и, следовательно, проходит через точку O₁. Реакция направлена по нити CD. Так как на цилиндр А дей­ствуют три силы, то на основании теоремы о трех силах их линии действия должны пересекаться в точке O₁. Следовательно, цилиндр А при равновесии займет такое положение, при котором нить CD будет продолжением его радиуса.

Построим силовой треугольник (рис. 179, в). Этот треугольник подобен ΔОО₁С. Из подобия треугольников

или

.

Отсюда находим

.