Суждения и умозаключения. Математические док-ва и их виды.

1. Три основные формы мышления.

Прочное усвоение математических знаний невозможно без целенаправленного развития мышления. Поэтому развитие мышления – одна из задач современного школьного обучения. Структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют формами мышления. Принято считать, что в мышлении можно выделить 3 основные формы: понятие, суждение и умозаключение.

Понятие – это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки объектов, относящихся к данному понятию. Например, «Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны» (определение понятия «медиана треугольника»).

Суждение – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, о связи между ними и их свойствами или отношениях между ними. Например, «В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой» (теорема).

Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений получается новое суждение. Например, доказательство любой теоремы, например теоремы о медиане равнобедренного треугольника, представляет собой цепочку умозаключений.

2. Суждения, виды суждений как формы мышления.

В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определённым образом связываются между собой. Формой связи понятий друг с другом является суждение. Мыслить – значить высказывать суждения. С помощью суждения мысль получает своё дальнейшее развитие. В каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями. Если суждения правильно отображают объективно существующие зависимости между вещами, то такие суждения называют истинными. В противном случае суждения будут ложными. Например, суждение «Всякий ромб является параллелограммом» – истинно; но суждение «Всякий параллелограмм является ромбом» – ложно.

Итак, характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении. Причём в речи суждение должно быть повествовательным предложением. Например, «Треугольник АВС – равнобедренный» – суждение, а предложение «Будет ли треугольник АВС равнобедренным?» не является суждением.

Каждая наука по существу представляет собой определённую систему суждений об объектах, являющихся предметом её изучения. Каждое из суждений оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах данной науки. Математика также представляет собой определённую систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов (например,  есть символ перпендикулярности и др.).

Основные виды математических суждений таковы:

1. Аксиома (от греч. «axioma»– «авторитетное предложение», «самоочевидная истина») – это предложение, принимаемое без доказательства. Определённое число аксиом образует систему отправных исходных положений некоторой научной теории. Эти же аксиомы лежат в основе доказательств других положений (теорем) этой теории. В границах построенной теории каждая из аксиом принимается без доказательства. Таково, например, известное положение евклидовой геометрии «Через две точки плоскости проходит единственная прямая». Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фундамент математической теории.

Нужно добавить, что к системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются следующие требования:

I. независимость (каждая аксиома не является следствием других аксиом);

II. непротиворечивость (следствием аксиомы А не может быть одновременно два высказывания типа В и );

III. полнота (аксиом должно быть достаточно для построения самой теории).

2. Постулат (от лат. «postulatum» – требование) – это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями. Нередко постулаты являются частью определения некоторого понятия или некоторой системы понятий. Однако с точки зрения логики, термины «постулат» и «аксиома» понятия равнозначные.

Например, 5-ый постулат Евклида является также аксиомой: «Если две прямые пересекаются третьей так, что по какую-либо сторону от неё сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по эту же сторону исходные прямые пересекаются».

3. Теорема (от греч. «theorema» – рассматриваю, обдумываю) – это математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения). В теореме должно быть ясно указано:

– при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы);

– что об этом объекте утверждается (заключение теоремы).

Например, такая теорема: «В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам». Условие теоремы: данный четырехугольник – параллелограмм, диагонали его пересекаются. Заключение теоремы: точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам. Данная теорема записана в категорической форме.

Чтобы легче выделить условие и заключение теоремы, полезно переформулировать её в условной форме, применяя логический союз «если..., то...». Так, например, теорему о диагоналях параллелограмма можно сформулировать по-другому, не меняя ее смысла: «Если данный четырехугольник – параллелограмм и диагонали его пересекаются, то в точке пересечения они делятся пополам».

Таким образом, доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение.

Разъяснение понятий «аксиома», «теорема», «доказательство» проводится в начале курса геометрии (в 7-ом классе). А.В. Погорелов предлагает следующий вариант:

«Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. Предложение, выражающее свойство геометрической фигуры, которое доказывается, называется теоремой. Основные свойства простейших фигур называются аксиомами и являются отправными в доказательствах других свойств. При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы доказанные ранее». Таким образом, в средней школе ограничиваются интуитивным описанием этих понятий.