4. Решение произвольных систем линейных уравнений

При решении произвольных систем линейных уравнений первым делом проверяем систему уравнений на совместность, для этого воспользуемся теоремой Кронекера-Капелли:

Теорема: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Следующий шаг: 1) если система не совместна, то делаем вывод, что система решений не имеет; 2) если система совместна и ранг ее матрицы равен r, то для решения системы руководствуемся правилом:

выбираем из всех уравнений системы r уравнений, матрица из коэффициентов при неизвестных у которых имеет ранг r. В левых частях этих уравнений оставить такие r неизвестных, что определитель из коэффициентов при них отличен от нуля. Переменные, оставленные в левых частях уравнений называются базисными переменными. Остальные неизвестные объявить свободными и перенести в правые части уравнений. Решить систему дальше – это значит выразить переменные, оставленные в левых частях уравнений, через свободные переменные. Получим, так называемое, общее решение системы. Далее, давая свободным переменным произвольные значения и вычисляя значения базисных переменных, например, по формулам Крамера, можно получить все частные решения системы.

4.1. Исследовать на совместность и решить неоднородные системы линейных уравнений

Примеры выполнения заданий:

1) Дано:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы, совмещенную с матрицей А системы:

.

Вычислим ранги обеих матриц методом приведения их к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. С этой целью первую строку вычтем из второй, а вторую – из третьей, получим:

или .

Отсюда видно, что как матрица системы А, так и расширенная матрица имеют одинаковый ранг, равный трем. Делаем вывод, что заданная система совместна, причем все три ее уравнения являются линейно независимыми (число уравнений и ранг матрицы совпадают). Таким образом, заданная система эквивалентна следующей системе:

Вычисляя определители матрицы этой системы:

делаем вывод, что свободной может быть объявлена либо , либо неизвестная. Поэтому в первом уравнении системы в правую часть следует перенести или .

Перенеся , получим:

откуда находим: . Подставляем во второе уравнение системы. Получим

Подставляем найденные значения и в первое уравнение системы, найдем .

.

Записываем общее решение системы:

Найдем какое-нибудь частное решение. Пусть свободная переменная . Тогда частное решение системы будет равно

Ответ:

– общее решение системы

– частное решение системы.

2) Дано:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы, совместив ее с матрицей А системы

.

Выполним элементарные преобразования над строками совмещенных матриц, вычислим ранги матриц:

Получили матрицу, имеющую две ненулевые строки. Видно, что как матрица системы А, так и расширенная матрица имеют одинаковый ранг, равный двум. Делаем вывод, что заданная система линейных уравнений совместна. Вместе с тем линейно независимы только первые два уравнения (ранг равен двум), а третье – следствие двух первых (при элементарных преобразованиях расширенной матрицы ее последняя строка стала нулевой). Таким образом, заданная система эквивалентна следующей системе:

Для решения полученной системы необходимо определиться со свободными переменными. Так как ранг заданной системы , то базисных переменных будет тоже две. Все остальные – свободные, найдем их.

Вычислим определители второго порядка, составленные из коэффициентов при неизвестных, и отметим отличные от нуля.

Делаем вывод, что переменная обязательно должна быть базисной. Вторую переменную выбираем произвольно из , , . Пусть будет базисной переменной, тогда и будут свободными, переносим их в правую часть уравнений

Решая эту систему находим:

Тогда общее решение системы будет иметь вид:

Найдем какое-нибудь частное решение. Пусть , . Тогда получим:

Ответ: – общее решение системы.

3) Дано:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы, совместив ее с матрицей А системы и найдем их ранги:

Отсюда видно, что ранг матрицы А заданной системы равен двум (третья строка матрицы А состоит из нулей, а миноры второго порядка отличны от нуля), в то время как ранг расширенной матрицы равен трем. Поэтому, на основании теоремы Кронекера-Капелли, заданная система несовместна, т.е. не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

4) Дано:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы, совместив ее с матрицей А системы, найдем их ранги, делая элементарные преобразования над строками:

Полученный результат свидетельствует, что данная система совместна, так как ранги матриц А и одинаковы и равны четырем. Не трудно заметить, что ранг матрицы системы равен числу уравнений системы, поэтому делаем вывод о том, что все уравнения системы линейно независимы. При этом ранг матрицы системы равен числу неизвестных – это свидетельствует о том, что система имеет единственное решение.

Заданная система эквивалентна следующей:

Решим эту систему:

.

Записываем ответ.

Ответ: – единственное решение заданной системы.

Для самостоятельного решения:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.