Алгоритм построения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк матрицы

1. К данной матрице A приписать единичную матрицу E того же порядка, что и A:

.

2. С помощью элементарных преобразований строк привести матрицу A к единичной матрице: .

3. Матрица имеет вид: .

Алгоритм построения обратной матрицы можно выразить схемой:

.

Примеры выполнения заданий:

Задача 3. С помощью элементарных преобразований строк найти матрицу, обратную к матрице .

Решение:

Припишем единичную матрицу и выполним элементарные преобразования:

.

Таким образом, .

Ответ: .

Для самостоятельного решения:

1. Найдите матрицу, обратную к данной матрице .

Ответ: .

2. Найдите матрицу, обратную к данной матрице .

Ответ: .

3. Найдите матрицу, обратную к данной матрице

Ответ: .

4. Найдите обратную матрицу (методом присоединённой матрицы).

а) ; б) ;

в) ; г) .

4. Найдите (методом элементарных преобразований) матрицу, обратную к данной матрице.

а) ; б) ; в) .

2.7. Вычисление ранга матрицы

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок, отличного от нуля минора этой матрицы.

Определение. Матрица размера называется трапецевидной, если она имеет вид:

, где отличны от 0.

Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований можно превратить в трапецевидную. Так как элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы и ранг трапецевидной матрицы равен числу ненулевых строк, то для отыскания ранга матрицы надо: 1. элементарными преобразованиями превратить матрицу в трапецевидную; 2. подсчитать число ненулевых строк в трапецевидной матрице.

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду. Вычисление ранга матрицы

1. Переставить строки матрицы так, чтобы в верхнем левом углу (первый элемент первой строки) оказался отличным от нуля «ведущий» элемент (желательно, чтобы этот элемент бал равен единице, если возможно).

2. Переписать первую строку без изменений. Применяя элементарные преобразования, образуем нули в столбце под выбранным «ведущим» элементом. Получаем первую ступеньку.

3. Оставляем без изменения первую стоку и первый столбец полученной матрицы. Операции, описанные в пп.1 и 2 применяются к «укороченной» матрице (без первого столбца и первой строки) и повторяются до тех пор, когда исходная матрица будет иметь ступенчатый вид.

4. Вычислить ранг матрицы. Ранг матрицы равен числу угловых элементов в ступенчатой форме матрицы.

Примеры выполнения заданий:

Задача 1. Привести матрицу A к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками: .

Решение:

Первый этап. Сделаем нулевыми все элементы матрицы под крайним элементом первой строки. Для этого вычтем из второй строки первую, умноженной на 3, и запишем результат во вторую строку. После этого к третьей строке прибавим первую, умноженную на 5, и запишем результат в третью строку. Получим матрицу .

Второй этап. Теперь сделаем равными нулю все элементы матрицы под крайним элементом второй строки. Для этого умножим вторую стоку - на 2, получившиеся строки сложим и результат запишем в третью строку. Получим ступенчатую матрицу .

- ступенчатая матрица.

Ответ: .

Задача 2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы

.

Решение:

Будем стараться получить нулевые строки, помня, что действия можно производить только со строками. Умножим на вторую строку:

.

Ранг матрицы равен числу угловых элементов в ступенчатой форме матрицы, то есть .

Ответ: .