1.3. Вычислить определитель, предварительно выполнив элементарные преобразования.

Примеры выполнения заданий

Дано: .

Решение: Определитель порядка выше третьего вычисляют методом разложения по элементам какой–либо строки (столбца) предварительно подвергнув его элементарным преобразованиям. В нашем случае преобразования удобно делать, используя первый столбец. Умножим первый столбец сначала на и сложим с третьим столбцом, затем первый столбец умножим на 2 и сложим с четвертым столбцом и, наконец, первый столбец умножим на и сложим с пятым столбцом.

Получим:

.

Разложим этот определитель по элементам третьей строки:

.

Для вычисления полученного определителя четвертого порядка проведем с ним элементарное преобразование, для чего прибавим второй столбец к третьему. Имеем:

.

Разложим этот определитель по элементам третьего столбца и, произведя дальнейшие упрощения, вычислим заданный определитель:

.

Таким образом, элементарные преобразования определителя пятого порядка позволили свести его вычисление к вычислению простейшего определителя – второго порядка.

Для самостоятельного решения

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20. .

Дополнительные задания для самостоятельного решения

1. Расставить знаки при раскрытии определителя второго порядка и вычислить его:

2. Закончить вычисление определителя второго порядка:

3. Найти и исправить ошибку при вычислении определителя второго порядка:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

4. Расставить знаки при раскрытии определителя третьего порядка:

.

5. Закончить вычисления определителя

а)

б)

6. Расставить знаки при раскрытии определителя третьего порядка:

.

7. Расставить индексы элементов при раскрытии определителя третьего порядка

.

8. Закончить вычисления определителя третьего порядка по правилу треугольника

9. Закончить вычисления определителя третьего порядка по правилу треугольника и сравнить ответ с заданием 5а

10. Найти ошибки в вычислении определителя третьего порядка:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

11. а) Найти определитель, разложив его по элементам первой строки и сравнить с ответом в задании 7:

б) Найти определитель, разложив его по элементам первой строки и сравнить с ответом в задании 8:

в) Найти определитель, разложив его по элементам первой строки и сравнить с ответом в задании 5б:

12. Разложить определитель по элементам первого столбца

13. Вычислить определитель третьего порядка, приведя его к треугольному виду:

1 4. Вычислить определитель, используя его свойства:

2. Действия над матрицами

2.1. Сложение и вычитание матриц

Определение. Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и , т.е. равны элементы с одинаковыми индексами.

Равные матрицы обязательно имеют одно и то же строение: либо обе они прямоугольные типа , либо квадратные одного и того же порядка n.

Примеры выполнения заданий:

Задача 1. Определите, являются ли матрицы A и B равными:

и , если .

Ответ: Матрицы являются равными по определению.

Задача 2. Определите, являются ли матрицы D и C равными:

и .

Ответ: _____________.

Две матрицы одинаковой размерности можно суммировать: , причем результатом будет поэлементная сумма:

.

Определение. Суммой матриц A и B одинаковых размеров называется матрица , элементы которой равны суммам элементов матриц A и B, расположенных на соответствующих местах, т.е. .

Примеры выполнения заданий:

Задача 3. Сложить матрицы A и B, если и .

Решение:

.

Задача 4. Сложите матрицы A и B, если .

Решение:

.

Ответ: .

Для самостоятельного решения:

1. Сложите матрицы A и B, если:

а) ; б) ;

в) ; г) .