1.3. Вычислить определитель, предварительно выполнив элементарные преобразования.
Примеры выполнения заданий
Дано:
.
Решение: Определитель
порядка выше третьего вычисляют методом
разложения по элементам какой–либо
строки (столбца) предварительно подвергнув
его элементарным преобразованиям. В
нашем случае преобразования удобно
делать, используя первый столбец. Умножим
первый столбец сначала на
и сложим с третьим столбцом, затем первый
столбец умножим на 2 и сложим с четвертым
столбцом и, наконец, первый столбец
умножим на
и сложим с пятым столбцом.
Получим:
.
Разложим этот определитель по элементам третьей строки:
.
Для вычисления полученного определителя четвертого порядка проведем с ним элементарное преобразование, для чего прибавим второй столбец к третьему. Имеем:
.
Разложим этот определитель по элементам третьего столбца и, произведя дальнейшие упрощения, вычислим заданный определитель:
.
Таким образом, элементарные преобразования определителя пятого порядка позволили свести его вычисление к вычислению простейшего определителя – второго порядка.
Для самостоятельного решения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
.
Дополнительные задания для самостоятельного решения
1. Расставить знаки при раскрытии определителя второго порядка и вычислить его:
2. Закончить вычисление определителя второго порядка:
3. Найти и исправить ошибку при вычислении определителя второго порядка:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
4. Расставить знаки при раскрытии определителя третьего порядка:
.
5. Закончить вычисления определителя
а)
б)
6. Расставить знаки при раскрытии определителя третьего порядка:
.
7. Расставить индексы элементов при раскрытии определителя третьего порядка
.
8. Закончить вычисления определителя третьего порядка по правилу треугольника
9. Закончить вычисления определителя третьего порядка по правилу треугольника и сравнить ответ с заданием 5а
10. Найти ошибки в вычислении определителя третьего порядка:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
11. а) Найти определитель, разложив его по элементам первой строки и сравнить с ответом в задании 7:
б) Найти определитель, разложив его по элементам первой строки и сравнить с ответом в задании 8:
в) Найти определитель, разложив его по элементам первой строки и сравнить с ответом в задании 5б:
12. Разложить определитель по элементам первого столбца
13. Вычислить определитель третьего порядка, приведя его к треугольному виду:
1
4.
Вычислить определитель, используя его
свойства:
2. Действия над матрицами
2.1. Сложение и вычитание матриц
Определение. Две
матрицы равны, если они имеют одинаковую
размерность и
,
т.е. равны элементы с одинаковыми
индексами.
Равные матрицы
обязательно имеют одно и то же строение:
либо обе они прямоугольные типа
,
либо квадратные одного и того же порядка
n.
Примеры выполнения заданий:
Задача 1. Определите, являются ли матрицы A и B равными:
и
,
если
.
Ответ: Матрицы являются равными по определению.
Задача 2. Определите, являются ли матрицы D и C равными:
и
.
Ответ: _____________.
Две матрицы
одинаковой размерности можно суммировать:
,
причем результатом будет поэлементная
сумма:
.
Определение.
Суммой матриц A
и B одинаковых
размеров называется матрица
,
элементы которой равны суммам элементов
матриц A и B,
расположенных на соответствующих
местах, т.е.
.
Примеры выполнения заданий:
Задача 3. Сложить матрицы A и B, если и .
Решение:
.
Задача 4. Сложите
матрицы A и B,
если
.
Решение:
.
Ответ:
.
Для самостоятельного решения:
1. Сложите матрицы A и B, если:
а)
; б)
;
в)
; г)
.