Содержание
ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………………………………….... 5
1. Вычисление определителей ………………………………………………………………….. 6
2. Действия над матрицами ………………………………………………..…………….....…… 15
3. Решение систем линейных уравнений ……………………..…...…………………………… 34
4. Решение произвольных систем линейных уравнений ……………………………….....….. 45
5. Линейная зависимость и независимость векторов …………………………………….....… 60
6. Вычисление собственных значений и собственных векторов заданных матриц ………… 63
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………………………...... 77
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ …………………………………………..... 78
ВВЕДЕНИЕ
Составленная рабочая тетрадь предназначена для обучения студентов вузов по разделу курса высшей математики «Линейная алгебра». Включает следующие разделы: вычисление определителей, действия над матрицами, решение произвольных систем линейных уравнений, решение произвольных систем линейных уравнений, линейная зависимость и независимость векторов, вычисление собственных значений и собственных векторов заданных матриц.
Тетрадь имеет следующую структуру. В начале каждого раздела приводятся теоретические сведения: определения основных понятий, формулировки теорем, соответствующие формулы. Далее следуют примеры типовых задач различной степени трудности. Затем предлагаются задачи для самостоятельного решения. К некоторым задачам приведены ответы и методические указания. Тетрадь снабжена иллюстративным и справочным материалом. Содержится система замечаний учебно-методического характера, полезных для студентов, изучающих курс высшей математики.
Рабочая тетрадь может быть использована для студентов всех специальностей, по которым проводит подготовку Поволжский государственный университет сервиса.
1. Вычисление определителей
1.1. Вычислить определитель второго порядка
Пусть заданы 4
числа:
,
расположенные в форме квадратной
таблицы, в которой положение числа в
строке задается первым индексом, а в
таблице – вторым.
Определение. Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по формуле:
.
Числа
– называются
элементами определителя. Элементы
образуют главную диагональ, а элементы
– побочную.
Правило:
Чтобы вычислить определитель второго порядка, необходимо от произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.
Пример выполнения заданий:
Дано:
.
Решение:
.
Для самостоятельного решения
1.
; 2.
; 3.
;
4.
; 5.
; 6.
;
7.
; 8.
; 9.
;
10.
; 11.
; 12.
;
13.
; 14.
; 15.
;
16.
; 17.
; 18.
;
19.
; 20.
.
1.2. Вычислить определитель третьего порядка двумя способами:
– по правилу треугольника;
– разложением по элементам строки (столбца).
Пусть вновь заданы
числа:
,
расположенные в форме квадратной
таблицы, содержащей 3 строки и 3 столбца.
Определение. Определителем 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
.
Заданный определением 2 способ вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольника.
Геометрическая иллюстрация:
,,+’’
,, –’’
Рис. 1
Правило треугольника имеет ограниченную определителем третьего порядка сферу практического применения. Для вычисления определителя более высоких порядков используют другой, более общий, метод, с помощью которого можно вычислять и определители 3-го порядка.
Рис. 2
Определение.
Минором
определителя 3-го порядка, соответствующего
его элементу
называется определитель 2-го порядка,
полученный путем вычёркивания в заданном
определителе 3-го порядка i-ой
строки и j-го столбца,
на пересечении которых стоит элемент
.
Нетрудно видеть, что определитель 3-го порядка обладает девятью минорами, а именно, для определителя получаются следующие миноры:
.
Определение.
Алгебраическим дополнением
определителя 3-го порядка, соответствующего
его элементу
называется его минор, умноженный на
,
где k - сумма номеров
строки и столбца, содержащих данный
элемент.
,
.
Теорема (Лапласа). Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.
.
Аналогично, суммы могут быть записаны и для других строк или столбцов определителя. (Аналогично, для определителей 4-го, 5-го порядков и т.д.)
Примеры выполнения заданий:
Дано:
.
Вычислить определитель двумя способами.
Решение: а) по правилу треугольника
.
б) разложением
Перед разложением преобразуем, определитель с целью упрощения последующих вычислений: сначала первый столбец прибавим к третьему, получим
,
затем первый столбец, умноженный на семь, прибавим ко второму
.
Полученный определитель разлагаем по элементам третьей строки. Имеем:
Для самостоятельного решения
1.
; 2.
; 3.
;
4.
; 5.
; 6.
;
7.
; 8.
; 9.
;
10.
; 11.
; 12.
;
13.
; 14.
; 15.
;
16.
; 17.
; 18.
;
19.
; 20.
.