Интегральный признак Маклорена-Коши
Теорема
13.
Пусть дан ряд с положительными членами
(15) и существует функция
такая, что
При этом функция
непрерывна в промежутке
положительна, и убывает в этом промежутке.
Тогда, если интеграл
сходится, то и ряд (1) сходится, а если
интеграл
расходится, то и ряд (15) расходится.
Пример
13.
Исследовать на сходимость обобщенный
гармонический ряд:
Решение.
При
имеем ряд: 
.
Это гармонический ряд, и он расходится.
Пусть
Рассмотрим функцию:
Нетрудно проверить, что
удовлетворяет всем условиям теоремы:
.
Эта функция непрерывна в промежутке
положительна, и строго убывает.
Рассмотрим интеграл:
Из интегрального
исчисления известно, что этот интеграл
сходится при
и расходится при
значит, утверждаем, что обобщенный
гармонический ряд сходится при
и расходится при
Пример14. Ряд расходится. Пример 15. Ряд сходится.
12. Ряды со знакочередующимися членами
Определение 4. Рядами со знакочередующимися членами называются ряды вида:
;
при любом п.
Так как второй
ряд получается из первого умножением
на
то можно изучать первый ряд и все будет
справедливо для второго ряда. Для
знакочередующихся рядов имеет место
теорема, которая является достаточным
признаком сходимости ряда.
Теорема Лейбница 14. Если в ряде (18)
Члены убывают по
модулю, т.е.
при любом п
и предел
то ряд сходится.
Доказательство. Пусть для ряда (18) условия теоремы выполняются. Рассмотрим частичную сумму ряда с четным номером 2п:
Перепишем ее в
виде:
(19)
В формуле (19) каждая
скобка справа будет больше нуля, т.к.
поэтому
при любом п.
Кроме этого, очевидно, что последовательность
будет строго возрастать. Покажем, что
эта последовательность является
ограниченной сверху. Перепишем
(20)
Так как
то
значит, из (20) следует, что
Таким образом,
будучи строго возрастающей, ограничена
сверху числом
.
Тогда по теореме Вейерштрасса утверждаем,
что последовательность
имеет конечный предел, обозначим его
S:
.
Рассмотрим последовательность частичных сумм с нечетными номерами . Запишем равенство:
(21)
Так как по условию
теоремы
то, переходя к пределу в равенстве (21),
получим:
Итак,
последовательности частичных сумм с
четными и нечетными номерами имеют один
и тот же предел S.
Отсюда следует, что последовательность
частичных сумм ряда (18)
имеет предел, равный S.
В самом деле, возьмем произвольное
и рассмотрим окрестность точки S.
Так как
,
то в
-окрестности
точки S
будут
находится все члены последовательности
,
начиная с некоторого номера. Так как
,
то в этой же окрестности будут находиться
все члены последовательности, начиная
с некоторого номера. Следовательно,
можно указать номер, с которого все
члены последовательности
и с четными, и с нечетными номерами будут
находиться в некоторой окрестности
точки S,
то есть
.
Теорема доказана.
Определение 5. Ряды со знакочередующимися членами, которые удовлетворяют условиям теоремы Лейбница, называются рядами лейбницкого типа.
Следствие
3(из теоремы Лейбница). Если
S
– сумма ряда
лейбницкого типа, то модуль
.
Это следствие имеет значение в приближенных
вычислениях суммы ряда.