Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ряды лекции.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
21.08.2019
Размер:
621.57 Кб
Скачать

5. Необходимый признак сходимости ряда

Теорема 1. Если числовой ряд сходится, то предел его п - го члена при равен 0.

Доказательство. Пусть числовой ряд (5)

сходится. Требуется доказать, что предел Запишем п- ю и - ю частичные суммы ряда (5):

Вычитая почленно из первого равенства второе, найдем: (6)

По условию теоремы ряд (5) сходится. Обозначим его сумму через S. Тогда . Переходя к пределу в (6), имеем: Теорема доказана.

Замечание 2. Теорема не является достаточным признаком сходимости ряда, то есть если для какого-нибудь ряда то это не значит, что ряд сходится. Например, гармонический ряд но он расходится.

6. Достаточный признак расходимости ряда

Теорема 2. Если числовой ряд (7)

таков, что то этот ряд расходится.

Доказательство. Пусть числовой ряд (7) таков, что . Требуется доказать, что этот ряд расходится. Но это так и есть, ибо если бы он сходился, то на основании теоремы (необходимого признака сходимости ряда) должно быть А это невозможно, значит, ряд расходится. Теорема доказана.

Пример 9.

Ряд расходится.

7. Остаток ряда

Пусть дан числовой ряд (8)

Отбросив первые п членов данного ряда, получим ряд: (9). Ряд (9) называется п-ым остатком ряда.

Теоремы о связи между сходимостью или расходимостью ряда и его остатка:

Теорема 3. Если числовой ряд (8) сходится или расходится, то соответственно сходится или расходится любой его остаток.

Обратная теорема 4. Если сходится или расходится какой-нибудь остаток ряда, то соответственно сходится или расходится этот ряд.

Следствие1. Прибавление к ряду или отбрасывание от него конечного числа членов не влияет на его сходимость.

Следствие 2. Если S – сумма ряда (8), частичная сумма этого ряда, а сумма п-го остатка, то справедливо:

Теорема 5. Если числовой ряд сходится, то предел суммы его п-го остатка равен 0 при

Доказательство. Пусть ряд (8) сходится, тогда справедливо где сумма ряда, п-ая частичная сумма этого ряда, остаток ряда: (10)

Так как то переход к пределу при в (10) дает нам 0. Теорема доказана.

8. Некоторые операции над рядами

  1. Умножение ряда на число.

Умножить ряд на некоторое число, это значит: каждый член ряда умножить на это число, т.е. если (11)

умножить на с, то получим:

Теорема 6. Если ряд (11) сходится или расходится, то, умножив его на некоторое число, получим вновь соответственно сходящийся или расходящийся ряд (это число должно быть отлично от 0).

  1. Сумма (разность) двух рядов.

Пусть даны два ряда: (12)

(13)

Суммой (разностью) двух данных рядов называется ряд вида:

(14)

Теорема 6. Сумма (разность) двух сходящихся рядов есть ряд сходящийся. При этом если U – сумма ряда (12), V – сумма ряда (13), S – сумма ряда (14), то

3) Группировка членов ряда.

Теорема 7. Если члены сходящегося ряда, не меняя их порядка, сгруппировать каким-либо образом, то вновь полученный ряд будет сходящимся и его сумма будет равна сумме исходного ряда.