§ 12. Раскраска графов

Задача. Имеется географическая карта, на которой каждая страна состоит из одной связной области. Смежными называются страны, которые имеют общую границу в виде линии (а не просто одной общей точки). Требуется раскрасить карту, используя наименьшее количество красок, так, чтобы никакие две смежные страны не были одного и того же цвета.

Каждая карта порождает граф, в котором странам ставятся в соответствие вершины, причем две вершины соединяются ребром, если соответствующие им страны смежные. Ясно, что такой граф будет плоским. Таким образом, в терминах теории графов, нужно раскрасить вершины графа так, чтобы никакие две смежные вершины не были окрашены в одинаковый цвет.

Раскраской графа называется такое приписывание цветов его вершинам, что никакие две смежные вершины не получают одинакового цвета. В k-раскраске графа используется k цветов.

Хроматическое число (F) графа F определяется как наименьшее k, для которого граф имеет k-раскраску. Очевидно, что (F) = 1, если все вершины графа F изолированные.

Примеры: (K_n) = n, (K_{|V1|, |V2|}) = 2, (T) = 2 для любого нетривиального дерева T.

Теорема (о пяти красках). Всякий планарный граф F(V, E) можно раскрасить в пять цветов.

 При |V|  5 очевидно, что теорема верна. Пусть теорема верна при |V| = p. Покажем, что она верна и при |V| = p + 1.

По третьему следствию из теоремы Эйлера в графе F найдется вершина v, степень которой не больше 5. Рассмотрим граф F*, который получается из графа F удалением этой вершины (и всех инцидентных ей ребер). По предположению, граф F* можно раскрасить пятью красками. Осталось правильно раскрасить вершину v.

Если некоторый цвет с не используется в раскраске вершин, смежных с v, то, приписав цвет с вершине v, получим 5-раскраску графа F.

Рассмотрим случай, когда (v) = 5 и все пять красок использованы для вершин, смежных с v.

Рис. 3.26.

Обозначим F₁₃  правильный подграф графа F*, порожденный всеми вершинами, покрашенными в цвета 1 или 3 в 5-раскраске графа F*.

Если v₁ и v₃ принадлежат разным компонентам связности графа F₁₃, то в той компоненте, в которой находится v₁, произведем перекраску 1  3. Цвет вершины v₁ освободится для v.

Иначе существует простая цепь, соединяющая v₁ и v₃ и состоящая из вершин, покрашенных в цвета 1 и 3. В этом случае v₂ и v₄ принадлежат разным компонентам связности подграфа F₂₄ (так как F  планарный). Перекрасим вершины 2  4 в той компонента связности графа F₂₄, которой принадлежит v₂, в результате чего получим 5-раскраску графа F*, в которой цвет вершины v₂ свободен для v. 

Гипотеза четырех красок: всякий планарный граф можно раскрасить в четыре цвета.

Единодушно признается, что гипотеза справедлива, но маловероятно, что она будет доказана в общем случае. Если доказательство будет найдено, то улучшить результат (т.е. уменьшить количество цветов) окажется невозможным: например, для планарного графа K₄ меньше чем четырьмя цветами обойтись нельзя.