§ 5. Отношение достижимости для вершин орграфа

Пусть V - множество вершин ориентированного графа F, Е - множество его рёбер. Каждое ребро eE имеет начало v’V и конец v’’V. Таким образом, заданы два отображения ₁ и ₂, где v’=₁(e)  начало ребра е, v’’ =₂(e)  конец ребра е.

Можно дать несколько определений пути в орграфе F.

1. Путь из вершин и рёбер  это последовательность L(v₀,e₁,v₁,e₂,...,e_n,v_n ), где v_i1=₁(e_i), v_i=₂(e_i). Вершина v₀ называется началом пути L, вершина v_n - концом пути L, число n рёбер  его длиной. Путь, состоящий из одной вершины, имеет нулевую длину.

2. Путь из рёбер  это последовательность (e₁,e₂,...,e_n ). Это понятие пути  аналог понятия маршрута в неориентированном графе.

3. Путь из вершин  это последовательность (v₀,v₁,...,v_n ). Путь из вершин определён для графов, не содержащих кратных рёбер.

На практике можно пользоваться тем определением пути, которое окажется удобнее в данной конкретной задаче.

Путь называется ориентированной цепью (или просто цепью, когда рассматриваются только орграфы),, если каждое ребро встречается в нём не более 1 раза, и простой ориентированной цепью, если каждая вершина графа F инцидентна не более чем двум его рёбрам.

Пример. Путь (e₅,e₆,e₇,e₁,e₄,e₃) (рис. 3.11)  ор. цепь, а путь (e₇,e₁,e₄,e₃) - простая ор. цепь.

Рис. 3.11.

Путь называется ориентированным циклом (или просто циклом, когда рассматриваются только орграфы), если он состоит более чем из одного элемента и его начало совпадает с его концом. Как и для неориентированного графа, начало цикла обычно не фиксируется. Цикл называется простым, если каждая принадлежащая ему вершина инцидентна ровно двум его рёбрам.

Пример. Путь (e₁,e₄,e₃,e₂,e₅,e₆,e₇)  цикл, путь (e₅,e₆,e₇)  простой цикл.

В связи с ориентированными цепями справедлива теорема, которую доказал Redei при изучении квадратичных полей.

Теорема 3.3. Пусть F  конечный орграф, в котором каждая пара вершин соединена ребром. Тогда в F существует простая ориентированная цепь, проходящая через все его вершины.

 Доказательство проведем методом МИ. Обозначим количество вершин графа через n.

• n=2: дуга, соединяющая две вершины графа F₂, и есть простая ориентированная цепь, проходящая через все вершины графа.

• Предположим, что при n = m для графа F_m теорема верна.

• Докажем, что при n = m+1 для графа F_m+1 теорема верна.

Построим граф F_m+1, добавив к графу F_m некоторую вершину v_m+1, в которой имеются ребра ко всем вершинам v_i (i=1,2,...,m) из F_m. По предположению, существует простая ориентированная цепь, проходящая через все вершины графа F_m: P_m=(v₁,v₂,...,v_m). Для ребер, инцидентных вершине v_m+1, имеется три возможности.

1. Существует дуга (v_m+1,v₁). Добавив ее к цепи P_m “слева”, получим искомую цепь, проходящую через все вершины графа F_m+1: P_m+1=( v_m+1,v₁,v₂,...,v_m).

2. Существует дуга (v_m,v_m+1). Добавив ее к цепи P_m “справа”, получим искомую цепь, проходящую через все вершины графа F_m+1: P_m+1=( v_m+1,v₁,v₂,..., v_m,v_m+1).

3. Если в графе F_m+1 нет ни дуги (v_m+1,v₁), ни дуги (v_m,v_m+1), то при некотором k (k=2,3,...,m-1) в нем обязательно найдутся дуги (v_k ,v_m+1) и (v_m+1,v_{k +1}). Составим цепь

P_m+1=(v₁,v₂,...,v_k ,v_m+1,v_{k +1},...,v_m).

Эта цепь проходит через все вершины графа F_m+1.



На множестве вершин V зададим отношение достижимости R_D следующим образом: Вершина v’V находится в отношении R_D с вершиной v’’V (в этом случае говорят, что вершина v’’ достижима из вершины v’), если существует путь L(v’,... ,v’’) с началом v’ и концом v’’.

Аналогично отношению связности для вершин неориентированного графа отношение достижимости для вершин ориентированного графа рефлексивно и транзитивно, но в отличие от отношения связанности отношение достижимости не обязательно симметрично.

С помощью отношения достижимости определяется разбиение множества вершин орграфа на классы эквивалентности: вершины v’, v’’ принадлежат одному классу, если отношение симметрично, т.е. v’’ достижима из v’, а v’ достижима из v’’.

Пусть L₁(v’, ... ,v’’) и L₂(v’’, ... ,v’)  соответствующие пути, связывающие эти вершины. Тогда вместе они образуют цикл, проходящий через вершины v’ и v’’. Таким образом, любые вершины одного и того же класса эквивалентности принадлежат некоторому циклу. Если циклы в графе отсутствуют, то каждый класс эквивалентности состоит из одной вершины.

Рис. 3.13.

Минимальный граф F_B , индуцирующий на множестве вершин V то же отношение достижимости, что и данный ориентированный граф F, т.е. граф с неуменьшаемым далее множеством рёбер, называется базисным графом для графа F.

Если существует базисный граф, то он не обязательно единственный. Так, для графа на рис. 3.13, любое радиальное ребро и ориентированный многоугольный цикл определяют базисный граф.

Если F - конечный орграф, то базисные графы существуют; они могут быть получены при последовательном удалении “излишних” рёбер (v₀,v_n), для которых найдётся не содержащая ребра (v₀,v_n) ориентированная цепь Р(v₀,v_n).