§ 7. Гамильтонов граф и условия его существования

Цепь в неориентированном графе F называется гамильтоновой, если она проходит через каждую вершину F ровно один раз.

Цикл в неориентированном графе F называется гамильтоновым, если она проходит через каждую вершину F ровно один раз. Граф, содержащий гамильтонов цикл, называется гамильтоновым графом.

Следует иметь в виду, что понятия эйлерова графа и гамильтонова графа не зависят друг от друга. Граф может быть эйлеровым и гамильтоновым одновременно (рис. 3.18, а), эйлеровым, но не быть гамильтоновым (рис. 3.18, б), гамильтоновым и не эйлеровым (рис. 3.18, в), наконец, не быть ни тем, ни другим (рис. 3.18, г).

К сожалению, отсутствуют такие же простые необходимые и достаточные условия существования гамильтонова цикла, как, например, эйлерова цикла.

Рис. 3.18.

Рассмотрим простой класс графов, в которых заведомо существуют гамильтоновы цепи и циклы. Очевидно, что в полном графе всегда существуют гамильтонов цикл, а также гамильтоновы цепи, соединяющие две произвольные вершины этого графа. Таким образом, простейшим достаточным условием существования гамильтонова графа является его полнота.

Пусть полный ориентированный граф F содержит n вершин. Тогда при построении гамильтоновой цепи первую вершину в нем можно выбрать n способами, вторую  n1 способами,..., n-ю  1 способом. В соответствии с правилом произведения в полном орграфе с n вершинами существует n! различных гамильтоновых цепей.

Поскольку начало цикла не фиксируется, т.е. все маршруты, получающиеся друг из друга циклическим сдвигом, считаются одним и тем же циклом, то гамильтоновых циклов в полном орграфе будет в n раз меньше, чем цепей, т.е. (n1)!.

Для неориентированного графа цепей (циклов) имеется в 2 раза меньше, чем для орграфа.

Приведем также простейшие необходимые условия существования гамильтонова графа.

1. Если граф F гамильтонов, то он связный.

 Предположим, что F не является связным. Значит, в нем найдется такая пара вершин v’ и v”, что в F не существует соединяющего их маршрута, а следовательно, в F не удастся построить цикл, проходящий через все его вершины, т.е. граф F - не гамильтонов. 

2. Если граф F гамильтонов, то в нем отсутствуют точки сочленения.

 Предположим, что в гамильтоновом графе F есть точка сочленения. Обозначим ее v₀. Так как F - гамильтонов, то в нем можно построить гамильтонов цикл с началом и концом в этой точке v₀: С=(v₀,v₁,v₂,...,v_n-1,v₀).

Поскольку v₀ - точка сочленения, то, удалив ее из графа F, получим вместо F граф F’ с компонентами связности F₁,F₂,...,F_m, где m2.

По определению гамильтонова цикла v₀v₁v₂...v_n1, следовательно, после удаления вершины v₀ и инцидентных ей ребер от цикла С в графе F’ останется (v₁,v₂,...,v_n1)  цепь, соединяющая все вершины графа F’. Это означает, что F’ - связный граф, т.е. он имеет одну компоненту связности: m=1. 

§ 8. Деревья и их свойства. Цикломатическое число

Пусть T(V, E)  неориентированный граф, не содержащий циклов, петель и кратных рёбер. Если при этом T  связный граф, то он называется неориентированным деревом, если T  граф несвязный, то он называется лесом. Связные компоненты леса являются деревьями.

Так как дерево не содержит циклов, то любая цепь в нём является простой.

Теорема 3.4 (свойство 1). Любые две вершины дерева v’ и v’’ связаны единственной цепью.

 Если бы были две цепи, связывающие вершины v’ и v’’, то был бы и цикл, что противоречит определению дерева. 

Из первого свойства следует, что удаление из дерева любого ребра приводит к несвязному графу; поэтому дерево представляет собой связный граф с минимальным количеством ребер.

Наименьшая из возможных длина простой цепи, соединяющей вершины v’ и v’’, называется расстоянием между этими вершинами.

Наглядное представление для дерева Т можно получить при помощи следующей конструкции. Выберем произвольную вершину v₀ (корень дерева) и проведём все рёбра к вершинам, находящимся на расстоянии 1 от v₀. От этих вершин проведём рёбра к вершинам, находящимся на расстоянии 2 от v₀, и т.д. Из вершины v_n,i , расположенной на расстоянии n от v₀, выходит ровно одно ребро к предшествующей вершине v_n1,j , находящейся от v₀ на расстоянии n_1, а также некоторое семейство рёбер к последующим вершинам v_n+1,k , находящимся на расстоянии n+1 от v₀. Ни для какой из этих вершин v_n,i не может быть рёбер, соединяющих её с вершинами v_n,l с тем же расстоянием n от v₀.

Вершина v графа F называется концевой (или висячей), если её степень равна единице, т.е.  (v)=1. Инцидентное концевой вершине ребро также называют концевым.

Теорема 3.5 (свойство 2). Если конечное дерево состоит более чем из одной вершины, то оно имеет хотя бы две концевые вершины и хотя бы одно концевое ребро.

 I случай. Пусть v₀ - концевая вершина. Тогда от неё отходит одно ребро в вершину v₁. В этом случае кроме v₀ концевыми являются последнее ребро в цепи, выходящей из v₁, и одна из инцидентных ему вершин.

II случай. Пусть вершина v₀ не является концевой. Значит, от неё отходят хотя бы два ребра в вершины v_1,1 и v_1,2. Последнее ребро в цепи, выходящей из v_1,1, и одна из инцидентных ему вершин являются концевыми. Аналогично концевыми являются и последнее ребро с инцидентной ему вершиной в цепи, выходящей из v_1,2. 

В дереве с корнем v₀ можно естественным образом ориентировать рёбра в направлении “от корня”. В каждую вершину ориентированного “от корня” дерева (за исключением самого корня) входит только одно ребро, следовательно, число всех входящих рёбер, т.е. всех рёбер дерева, равно числу его вершин. Исключение составляет корень: в него не входит ни одно ребро. Поэтому в конечном дереве число вершин на единицу больше числа рёбер (свойство 3): |V| = |E| + 1. (9.1)

Каждое дерево можно ориентировать, выбрав в качестве корня любую его вершину.

Цикломатическим числом (ЦЧ) конечного неориентированного графа F(V, E) называется величина

(F) =  + |E|  |V|, (9.2)

где   число связных компонент графа.

Пример. Для графа, изображенного на рисунке 3.3, б: (F) = 2 + 2  4 = 0.

В силу соотношения (9.1) ЦЧ дерева равно нулю; ЦЧ леса  сумме ЦЧ своих связных компонент-деревьев, т.е. также равно нулю.

Выше было показано, что дерево  это связный граф с минимальным количеством ребер. Следовательно, для связного графа, который содержит цикл и поэтому не является деревом, выполняется соотношение:

|E| > |V|  1, (9.3)

и, значит, его ЦЧ положительно: ( F) > 0.