§ 2. Операции над графами

Дополнение графа F(V, E) имеет в качестве множества вершин множество V, причем две вершины в смежные тогда и только тогда, когда они не являются смежными в F.

Пример (рис. 3.3). Граф 3.3, г является дополнением к графу 3.3, б.

Пусть графы F₁ и F₂ имеют непересекающиеся множества V₁ и V₂ вершин и непересекающиеся множества ребер E₁ и E₂.

Объединением F₁F₂ таких графов называется граф с множеством вершин V₁V₂ и множеством ребер E₁E₂. Соединение F₁+F₂ графов состоит из их объединения F₁F₂ и всех ребер, соединяющих V₁ и V₂.

Чтобы определить произведение F₁F₂, рассмотрим любые две вершины u = (u₁, u₂) и v = (v₁, v₂) из декартова произведения V₁V₂. Вершины u и v смежные в F₁F₂ тогда и только тогда, когда: либо u₁ = v₁ и u₂  вершина, смежная с v₂, либо u₂ = v₂ и u₁  вершина, смежная с v₁.

Композиция F₁ [F₂] также имеет декартово произведение V₁V₂ в качестве множества вершин, и вершина u = (u₁, u₂) смежная с вершиной v = (v₁, v₂) тогда и только тогда, когда: либо u₁  вершина, смежная с v₁, либо u₁ = v₁ и u₂  вершина, смежная с v₂.

Операция	Число вершин	Число ребер
Объединение F1F2	|V1| + |V2|	|E1| + |E2|
Соединение F1+F2	|V1| + |V2|	|E1| + |E2| + |V1|  |V2|
Произведение F1F2	|V1|  |V2|	|V1|  |E2| + |V2|  |E1|
Композиция F1 [F2]	|V1|  |V2|	|V1|  |E2| + |V2|2  |E1|

§ 3. Способы задания псевдографов. Степени вершин

Граф, по определению представляющий собой пару множеств, можно задать любым из способов задания множеств. Однако для графа существуют некоторые специфические способы задания, пригодные и для псевдографов.

1. Матрица инцидентности

Пусть v₁,v₂,...,v_n  вершины псевдографа F; e₁,e₂,...,e_m  его рёбра. Отношение инцидентности можно определить матрицей инцидентности B_mn , n столбцов которой соответствуют вершинам псевдографа, а m строк - его рёбрам. Для неориентированного графа: b_ij =1, если ребро e_i инцидентно вершине v_j, в противном случае b_ij =0.

В матрице инцидентности ориентированного псевдографа, если вершина v_j - начало ребра e_i , то b_ij = 1, если v_j - конец e_i, то b_ij =1, если e_i - петля, а v_j - инцидентная ей вершина, то b_ij = (где  - любое число, отличное от 1, 0, 1), в остальных случаях b_ij =0.

В каждой строке матрицы инцидентности для неориентированного или ориентированного псевдографа только два элемента отличны от нуля (или один, если ребро является петлёй), поэтому такой способ задания графа оказывается недостаточно экономным.

2. Список рёбер

Отношение инцидентности можно задать ещё списком рёбер. Каждая строка этого списка соответствует одному ребру; в ней записаны номера вершин, инцидентных ему. Для неориентированного псевдографа порядок вершин в строке произволен, для ориентированного псевдографа сначала указывается начальная вершина, а затем - конечная.

3. Матрица смежности

Матрицей смежности псевдографа является квадратная матрица C _nn, столбцам и строкам которой соответствуют вершины. Для неориентированного псевдографа элемент матрицы смежности c_ij равен количеству рёбер, инцидентных i-й и j-й вершинам; для ориентированного псевдографа этот элемент равен количеству рёбер с началом в i-й вершине и концом в j-й вершине.

Таким образом, матрица смежности неориентированного псевдографа симметрична (c_ij=c_ji) относительно главной диагонали. Для ориентированного псевдографа она будет симметрична только в том случае, если для каждого ребра имеется ребро, соединяющее те же вершины, но идущее в противоположном направлении.

В силу симметричности матрицы смежности для неориентированного графа все его рёбра будут определяться верхним правым треугольником вместе с главной диагональю этой матрицы.

Рассмотрим теперь два графа F и F* c n вершинами , которые различаются только нумерацией вершин, т.е. являются изоморфными. По определению изоморфных графов (см. § 2) существует взаимно однозначное соответствие s между множествами их вершин V и V*, при котором вершины u и w соединены в одном из графов тогда и только тогда, когда соответствующие им вершины s(u) и s(w) соединены в другом графе.

Обозначив матрицы смежности этих графов соответственно C и C*, получим

C*_S(i)S(j) = C_ij, i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., n.

Тем самым доказана

Теорема 3.2. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности получаются друг из друга одинаковыми перестановками строк и столбцов.

Для неориентированного псевдографа F количество  (v) рёбер, инцидентных вершине vF, называется локальной степенью или просто степенью этой вершины.

Зная матрицу смежности или матрицу инцидентности графа, случаях степень вершины v_j можно найти путём суммирования элементов j-го столбца матрицы инцидентности или матрицы смежности:  (v_j)=  (v_j)= .

При подсчёте степеней вершин по этим формулам каждая петля вносит в степень инцидентной ей вершины вклад 1. Однако при изображении петли на схеме к этой вершине примыкают два конца петли, т.е. петля вносит в эту степень вклад 2. Учёт вклада петель несколько усложняет формулы:

 *(v_j)= .

Когда i-е ребро обычное, =2, и  *(v_j)= (v_j).

Если речь идёт о петле, то =1, и слагаемое внешней суммы удваивается.

Соответствующая ф-ла при заданной матрице смежности выглядит следующим образом:

 *(v_j)= .

В зависимости от требований конкретной задачи можно пользоваться как одним, так и другим способом определения степени вершины.

Рассмотрим сумму степеней всех вершин графа: . Каждое ребро имеет два конца и, следовательно, вносит вклад 2 в эту сумму; поэтому справедлива следующая лемма.

Лемма 3.1 (о рукопожатиях). Сумма степеней всех вершин графа  чётное число, равное удвоенному числу рёбер.

Возможная интерпретация этой леммы такова: поскольку в каждом рукопожатии участвуют две руки, то при любом числе рукопожатий общее число пожатых рук чётно (при этом каждая рука учитывается столько раз, во скольких рукопожатиях она участвовала).

Следствие. В любом графе число вершин нечётной степени чётно.

Неориентированный граф называется однородным степени k (регулярным), если степени всех его вершин равны между собой и равны k. Если однородный граф степени k имеет n вершин и m рёбер, то справедливо соотношение

.

Регулярный граф степени 3 называется кубическим. Из леммы 3.1 следует, что каждый кубический граф имеет четное число вершин.

На рисунке 3.7, а изображен кубический граф с 6 вершинами.

Теорема 3.2. Во всяком неориентированном графе без петель и кратных рёбер с n вершинами, где n  2, всегда найдутся, по меньшей мере, две вершины с одинаковыми степенями.

 Предположим, что существует отвечающий условиям теоремы граф F, все вершины которого имеют разную степень, т.е. 0, 1, 2, ... , n1. Это означает, что одна из вершин графа F  изолированная (степени 0), а другая (степени n1) соединена рёбрами со всеми остальными вершинами. 

Рис. 3.7.

Для вершин ориентированного графа определяются две локальные степени:

₁(v) - число рёбер с началом в вершине v (количество выходящих из v рёбер) и

₂(v) - количество заходящих в v рёбер (тех, для которых эта вершина является концом).

Первую из этих степеней легко определить, суммируя элементы i-й строки матрицы смежности, а вторую  суммируя элементы i-го столбца:

₁(v) = ; ₂(v)= .

Пример. Для графа, изображённого на рис. 3.1, б, степени вершин следующие:

₁(3)=3; ₁(8)=2; ₁(24)=1; ₂(3)=1; ₂(8)=2; ₂(24)=3.

Петля даёт вклад 1 в обе эти степени. Очевидно, что общее количество всех выходящих рёбер равно общему количеству всех входящих рёбер и равно количеству рёбер этого графа:

m = = .

Ориентированный граф называется однородным степени k, если для каждой его вершины ₁(v)=₂(v)= k (рис. 3.7, б). Если однородный граф степени k имеет n вершин и m рёбер, то справедливо соотношение

.

Пример. На рисунке рис. 3.7, б изображен однородный орграф степени 1.