§ 4. Отношение связности для вершин неориентированного графа

Пусть F - неориентированный граф.

Маршрутом в F называется такая конечная или бесконечная последовательность рёбер (...,e₀,e₁,e₂,...,e_n,...), в которой каждые два соседние ребра e_i1 и e_i имеют общую инцидентную вершину. Одно и то же ребро может встречаться в маршруте несколько раз.

В дальнейшем будут рассматриваться в основном конечные маршруты (e₁,e₂,...,e_n). В таких маршрутах имеются первое ребро e₁ и последнее ребро e_n. Вершина v₀, инцидентная e₁ и не инцидентная e₂, называется началом маршрута. Вершина v_n, инцидентная e_n и не инцидентная e_n-1, называется концом маршрута. Вершины, инцидентные рёбрам маршрута, кроме начальной и конечной, называются внутренними (промежуточными).

Пусть маршрут М (e₁,e₂,...,e_n) имеет начало в v₀ и конец в v_n . В этом случае его называют соединяющим вершины v₀ и v_n. Число рёбер маршрута называется его длиной.

Пример. Маршрут (e₅,e₆,e₇,e₂,e₃,e₄,e₁,e₇) (рис. 3.8) имеет длину 8.

Маршрут называется цепью, если каждое ребро встречается в нём не более 1 раза, и простой цепью, если каждая вершина графа F инцидентна не более чем двум его рёбрам.

Пример. Маршрут (e₅,e₆,e₇,e₂,e₃,e₄) - цепь, а маршрут (e₅,e₂,e₃,e₄) - простая цепь.

Если начальная и конечная вершины маршрута совпадают, т.е. v₀=v_n, то маршрут называется циклическим. Пример. Маршрут (e₄,e₁,e₅,e₆,e₇,e₁,e₄) - циклический.

Рис. 3.8.

Циклический маршрут называется циклом, если он является цепью, и простым циклом, если он является простой цепью.

Пример. Маршрут (e₅,e₆,e₇,e₂,e₃,e₄,e₁) - цикл, маршрут (e₅,e₆,e₇) - простой цикл.

Начало цикла обычно не фиксируется, т.е. все маршруты, получающиеся друг из друга циклическим сдвигом, считаются одним и тем же циклом. Любой участок цепи или цикла сам является цепью.

На множестве вершин V зададим отношение связности R_S следующим образом: вершины v’, v’’V находятся в отношении R_S (такие вершины называются связанными), если существует маршрут М с началом v’ и концом v’’. В этом случае существует также маршрут с началом v’’ и концом v’ (для этого рёбра маршрута М должны идти в обратном порядке), откуда следует симметричность отношения связности двух вершин.

Пусть вершина vV инцидентна более чем двум рёбрам маршрута М, связывающего вершины v’ и v’’, причём e_i - первое из этих рёбер, e_j - последнее (j > i+1) (рис. 3.9). Тогда из маршрута М можно “выбросить” участок, начиная с (i+1)-го ребра и кончая (j1)-м. Получится маршрут М’ (e₁,e₂,...,e_i,e_j,...,e_n). Если М’ - не простая цепь, то можно повторить описанную выше процедуру. Наконец, получится простая цепь М*, связывающая вершины v’ и v’’. Таким образом, вершины, связанные маршрутом, связаны также и простой цепью.

Если вершина vF связана с какой-либо другой вершиной v’, то она связана и сама с собой. В самом деле, если v и v’ связывает маршрут М(e₁,e₂,...,e_n), тогда v и v связывает маршрут (e₁,e₂,...,e_n-1,e_n ,e_n-1,...,e₂,e₁). Обычно считают, что изолированная вершина также связана сама с собой, а значит, отношение связанности рефлексивно.

Рис. 3.9.

Наконец, оно транзитивно. Действительно, если вершина v’ связана с вершиной v’’ маршрутом М’(e₁’,e₂’,...,e_n’), а вершина v’’ с v’’’  маршрутом М”(e₁”,e₂”,...,e_m”), то вершина v’ связана с вершиной v’’’ маршрутом М(e₁’,e₂’,...,e_n’,e₁”,e₂”,...,e_m”).

Из рефлексивности, симметричности, транзитивности вытекает эквивалентность отношения связности.

Граф называется связным, если все его вершины связаны между собой.

Пример. Граф, изображенный на рис. 3.8,  связный.

Компонентой связности графа F называется его связный подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного подграфа графа F.

Пример. Граф, изображенный на рис. 3.3, б, имеет две компоненты связности.

Рис. 3.10.

Под операцией удаления вершины из графа понимают удаление вершины вместе с инцидентными ей ребрами.

Вершина графа, удаление которой увеличивает число компонент связности, называется разделяющей (или точкой сочленения); ребро с таким же свойством называется мостом.

Пример. Граф, изображенный на рис. 3.10, имеет четыре точки сочленения: v₃, v₆, v₇ и два моста:

(v₄, v₅) и (v₆, v₇).