Проектування фільтрів.

Функції MATLAB butter, bessel, cheby1, cheby2, ellip автоматично проектують фільтр, що задовольняє вимогам специфікацій, які сформульовані у термінах залежності коефіцієнта підсилення відповідної лінійної системи від частоти. Так визначаються низькочастотні, високочастотні, смугозагороджувальні (lowpass, highpass, bandstop), і смугові (bandpass) фільтри. Для проектування цифрового низькочастотного фільтра Баттерворта слід застосувати команду:

[b,a] = butter(n,Omegac),

де n – число полюсів і нулів у передатній функції фільтра;

Omegac – нормована цифрова частота зрізу.

Для проектування високочастотного фільтру із частотою зрізу Omegac, слід скористатися командою:

[b,a] = butter(n,Omegac,'high').

Щоб спроектувати смуговий фільтр зі смугою пропущення від Omega1 до Omega2, потрібно визначити Omega = [Omega1, Omega2] і використати команду:

[b,a] = butter(n,Omega).

3.4. Функції пакета розширення Filter Design, Signal Processing. Wavelet

Вейвлет-перетворення сигналів є узагальненням класичного перетворення Фур'є. Термін „вейвлет” (wavelet) у перекладі з англійського означає „маленька (коротка) хвиля”. Вейвлети – це узагальнена назва сімейств математичних функцій певної форми, які є локальними в часі та за частотою. В цьому сімействі всі функції утворюються із однієї базової функції за допомогою її зрушень і розтягань за віссю часу.

Елементом базису вейвлет-перетворення є добре локалізована функція, що швидко прямує до нуля поза невеликим інтервалом. Ці елементи мають рухоме частотно-часове вікно, яке є вузьким за малих масштабах і широким – за великих. Завдяки цій властивості багато дослідників називають вейвлет-аналіз „математичним мікроскопом”. Властивості базисних елементів дозволяють використати вейвлет-аналіз під час обробки коротких сигналів або процесів з перемежовуванням. Також вейвлет-перетворення широко застосовується для аналізу сигналів всілякої природи, у тому числі зображень (наприклад, фотографій або рентгенограм), різних динамічних рядів (наприклад, послідовності кардіоінтервалів під час зняття електрокардіограм) і т. под.

При проведенні вейвлет-аналізу час і координата розглядаються як незалежні змінні. У той же час вейвлет-аналіз дає можливість аналізувати властивості досліджуваного динамічного ряду як у фізичному (час, координата), так і в частотному просторі.

Практичне використання вейвлетів є нетривіальною задачею і вимагає як урахування індивідуальних особливостей досліджуваної задачі, так і правильного вибору вейвлета, що використовується. Найпоширенішими є вейвлет Хаара, Морле, FHAT-вейвлет, який часто називають „французьким капелюхом”, а також вейвлет Добеші.

FHAT – вейвлет визначається за формулою:

За допомогою неперервних масштабних перетворень і зсувів цього вейвлета можна сконструювати базис у функціональному просторі (просторі функцій, квадрат яких є інтегрованим на всій дійсній осі) з довільними значеннями базисних параметрів (масштабний коефіцієнт) і (параметр зсуву).

Будь-яку функцію з можна представити у вигляді суперпозиції масштабних перетворень і зсувів базисного вейвлета. Базисні функції вейвлет-перетворення, на відміну від базисних функцій перетворення Фур'є, добре локалізовані в координатному і часовому просторі та за частотою. Всі вейвлети сімейства мають те ж число осциляцій, що й базисний вейвлет , що є характерною ознакою його самоподоби. Тому вейвлет-перетворення є зручним інструментом для аналізу, фрактальних сигналів зокрема.

Вейвлет-аналіз динамічних рядів більш зручно проводити за допомогою дискретного вейвлет-перетворення, коефіцієнти якого ми будемо обчислювати за формулою:

,

де – -й член динамічного ряду;

– базисний вейвлет;

– коефіцієнт, який масштабує;

– число точок часового ряду;

– член ряду, для якого обчислюється вейвлет-коефіцієнт.

За винятком найпростіших випадків, дискретні вейвлети неможливо записати в аналітичній формі або представити у вигляді розв’язку диференціальних рівнянь. Вони визначаються набором чисельних коефіцієнтів у деяких функціональних рівняннях, що містять зміну масштабу та зсув аргументів, які й використовуються в практичних обчисленнях.

В останніх версіях розповсюджених математичних пакетів (Mathcad, Mathematica, MatLab) є пакети розширень для проведення дискретного вейвлет-аналізу.