1.4. Енергія сигналів

Поняття потужності та енергії в теорії сигналів не відносяться до характеристик яких-небудь фізичних величин сигналів, а є їхніми кількісними характеристиками, що відображають певні властивості сигналів і динаміку зміни їхніх значень у часі, у просторі або за будь-яким іншим аргументом.

Для довільного, у загальному випадку комплексного, сигналу миттєва потужність за визначенням дорівнює квадрату функції його модуля, для дійсних сигналів – квадрату функції амплітуд. Енергія сигналу, також за визначенням, дорівнює інтегралу від потужності на всьому інтервалі існування або завдання сигналу.

Енергія сигналів може бути скінченною або нескінченною. Скінченну енергію мають фінітні сигнали та сигнали, що загасають за своїми значеннями в межах скінченної тривалості та не містять дельта-функцій і особливих точок (розривів другого роду, а також гілок, які прямують на нескінченність). У протилежному випадку їхня енергія дорівнює нескінченності. Нескінченною також є енергія періодичних сигналів.

Частотне представлення застосовується не тільки для спектрального аналізу сигналів, але й для спрощення обчислень енергії сигналів і їхніх кореляційних характеристик.

Для довільного сигналу , де й – дійсні функції, миттєва потужність сигналу (щільність розподілу енергії) визначається формулою:

.

(1.6)

Енергія сигналу дорівнює інтегралу від потужності на всьому інтервалі існування сигналу визначається формулою:

.

(1.7)

Власне кажучи, миттєва потужність є щільністю потужності сигналу, тому що вимірювання потужності можливе тільки через енергію, яка виділяється на певних інтервалах ненульової довжини.

Сигнал вивчається, як правило, на певному інтервалі (для періодичних сигналів – у межах одного періоду ), при цьому середня потужність сигналу визначається формулою:

.

(1.8)

Енергія та норма сигналів зв’язані співвідношеннями:

, де .

1.5. Лінійні стаціонарні системи

Найбільш простими для розгляду є лінійні системи. Лінійними називаються системи, для яких має місце суперпозиція (відгук на суму двох вхідних сигналів дорівнює сумі відгуків на ці сигнали окремо) та однорідність, або гомогенність (відгук на вхідний сигнал, посилений у певне число разів, буде посилений у те ж число разів). Лінійність дозволяє розглядати об'єкти дослідження поодинці, а однорідність – у зручному масштабі. Для реальних об'єктів властивість лінійності може виконуватися приблизно й у певному інтервалі вхідних сигналів.

Для опису лінійної системи вводиться в розгляд спеціальний вхідний сигнал – одиничний імпульс (імпульсна функція). В силу властивості суперпозиції й однорідності будь-який вхідний сигнал можна представити у вигляді суми таких імпульсів, що подаються в різні моменти часу й помножених на відповідні коефіцієнти. Вихідний сигнал системи в цьому випадку є сумою відгуків на ці імпульси, помножених на зазначені коефіцієнти. Відгук на одиничний імпульс називають імпульсною характеристикою системи .

Якщо при , то систему називають казуальною (причинною). У такій системі реакція на вхідний сигнал з'являється тільки після надходження сигналу на її вхід.

У теорії цифрової обробки сигналів (ЦОС) система визначається як однозначне перетворення або оператор, що відображає вхідну послідовність у вихідну , що математично записується у вигляді .

Класи дискретних систем визначаються шляхом накладання обмежень на перетворення . Тоді, мовою математики, принцип суперпозиції можна записати таким чином: якщо й – відгуки на й відповідно, то система лінійна тоді й тільки тоді, коли є справедливим співвідношення:

.

Нехай – відгук системи на одиничний імпульс у момент . Тоді для лінійної системи можна записати:

.

Клас стаціонарних систем характеризується наступною властивістю: якщо – відгук на , то буде відгуком на , де – додатне або від’ємне ціле число. Для стаціонарної системи можемо записати:

.

(1.9)

Виходить, що будь-яка лінійна стаціонарна система повністю характеризується імпульсною характеристикою . Формулу (1.9) зазвичай називають згорткою. Заміною на в (1.9) одержимо інший вираз:

.

Можна побачити, що порядок, у якому дві послідовності входять у згортку, неважливий. Інакше кажучи, лінійна стаціонарна система зі входом і імпульсною характеристикою буде мати той же вихід, що й лінійна стаціонарна система зі входом і імпульсною характеристикою .