1.2. Розмірність сигналів

У загальному випадку сигнали є багатовимірними функціями про­сторових, часових та інших незалежних змінних. Більш широке застосування знаходять також багатовимірні сигнали, утворені деякою множиною одновимірних сигналів.

Багатовимірні сигнали можуть мати різне представлення за своїми аргументами. Також багатовимірний сигнал можна розглядати, як упорядковану сукупність одновимірних сигналів. Це є підґрунтям для того, щоб поширити на аналіз та обробку багатовимірних сигналів принципи і практичні методи обробки одновимірних сигналів, математичний апарат яких розвинений досить глибоко. Звідси витікає, що фізична природа сигналів для математичного апарата їхньої обробки значення не має.

Разом з тим обробка багатовимірних сигналів має свої особливості і може істотно відрізнятися від одновимірних сигналів у силу більшого числа ступенів свободи. Так, при дискретизації багатовимірних сигналів має значення не тільки частотний спектр сигналів, але й форма растра дискретизації.

З іншого боку, сигнал є фізичним поданням повідомлення й характеризується як залежними, так і незалежними від повідомлення параметрами. Залежні від повідомлення параметри називаються сигнальними. Прикладами сигнальних параметрів є амплітуда, частота, фаза та деякі інші параметри сигналів. Аргументом одновимірних переданих сигналів є, як правило, час . Сигнальні параметри багатовимірних сигналів зображень визначаються просторовими й часовими координатами, тобто .

1.3. Класифікація сигналів. Математичні моделі сигналів

Класифікація сигналів здійснюється на підставі істотних ознак відповідних математичних моделей сигналів. За своєю природою сигнал може бути випадковим або детермінованим, відповідно з цим всі сигнали поділяють на дві великі групи: випадкові сигнали і детерміновані (рис. 1.).

До детермінованих відносять сигнали, значення яких у будь-який момент часу в довільній точці простору є апріорно відомими або можуть бути досить точно визначені (обчислені) за відомою функцією або функцією, яку ми спрогнозували, навіть якщо ми не знаємо її явного виду.

Рис 1. Класифікація сигналів

Випадкові сигнали в принципі не мають певного закону зміни своїх значень у часі або в просторі. Для кожного конкретного моменту випадкового сигналу можна знати тільки ймовірність того, що він прийме деяке значення в деякій певній області можливих значень. Закон розподілу випадкового сигналу (функція розподілу – імовірність того, що випадкова величина прийме значення менше аргументу функції, або щільність розподілу – похідна функції розподілу) далеко не завжди відомий.

Якщо вхідний сигнал породжує такий самий вихідний сигнал за будь-яким зсувом , то систему називають інваріантною в часі. Властивості такої системи можна досліджувати в будь-які довільні моменти часу.

Розглянемо деякі математичні положення, які використовуються в ЦОС. Насамперед, під сигналом будемо розуміти функцію. Звичайно це буде функція часу, і час ми будемо вважати, поки що, неперервним. Часто виникає необхідність порівнювати сигнали між собою. Звичайно нема сенсу порівнювати сигнали поточково за амплітудою – це навряд чи допоможе відповістити на запитання, чи схожий прийнятий сигнал на той, на який ми очікуємо. Нехай, наприклад, у нас є два сигнали – просто синусоїда і синусоїда з доданої до неї постійною складової. Якщо припустити, що постійна складова досить велика, то при поточковому порівнянні амплітуд виявиться, що сигнали дуже різні. Однак насправді обоє ці сигнали можуть бути синусоїдами однакової амплітуди і частоти! Для того, щоб „правильно” порівнювати сигнали зручно використовувати наступну векторну абстракцію. У вектора є напрямок і модуль. Як би далеко не перебували два однакових вектори, ми завжди можемо їх порівняти за модулем та напрямком. Найзручнішим у цьому випадку є використання скалярного добутку векторів, який за визначенням дорівнює добутку модуля одного вектора на модуль іншого й на косинус кута між ними. Визначити його дуже легко: для цього потрібно обчислити суму попарних добутків відповідних координат обох векторів. Таким чином, скалярний добуток є міра співнапрямленості (схожості) векторів.

З іншого боку, будь-який вектор є не більш ніж набір чисел (впорядкована сукупність його координат). Якщо будь-яку функцію ми можемо представити нескінченною кількістю її значень, то ця функція також є вектором, а значить, ми можемо підрахувати скалярний добуток двох функцій:

.

Уперше таке подання стосовно функцій ввів італійський математик Вольтерра. Таким чином, скалярний добуток двох функцій є міра їх „подібності”.

Тепер перейдемо до перетворень сигналів (функцій). Для перетворення будемо використовувати поняття оператора, або, що те ж саме, орієнтовану систему . Тут – є незалежний вхідний сигнал, а – вихідний результат перетворення . Якщо перетворення є лінійним (поняття лінійної системи докладно обговорюється далі), то практично всі сигнали, проходячи крізь неї, будуть якось змінювати свою форму. Але є одне виключення – функція – комплексна експонента ( – уявна одиниця). Ця функція, проходячи крізь лінійну систему , не міняє свою форму, а міняє тільки амплітуду й фазу. Якщо трактувати цю функцію як вектор, то вона називається власним вектором перетворення .

Беручи до уваги таку особливість цієї функції, було б зручним всі функції, що проходять крізь лінійну систему, розглядати як сукупність таких комплексних експонент.

Як же розкласти наш довільний сигнал на набір комплексних експонент? Відповідь проста: треба скористатися скалярним добутком. Якщо взяти набір комплексних експонент з одиничною амплітудою і різними частотами, то скалярний добуток кожної з них на наш сигнал саме й дасть міру присутності комплексної експоненти певної частоти в нашому сигналі:

.

(1.1)

Формула (1.1) визначає пряме перетворення Фур'є. Тому що кожна комплексна експонента, проходячи через лінійну систему, змінюється тільки за амплітудою й фазою, то ми можемо одержати амплітуду й фазу для кожної частотної складової вихідного сигналу шляхом простого множення:

,

(1.2)

де – частотна характеристика системи, що визначає, як змінюється за амплітудою і за фазою комплексна експонента заданої частоти.

Існує також і обернене перетворення Фур'є. Воно задається формулою:

.

(1.3)

Кожній лінійній системі відповідає деяке лінійне диференціальне рівняння. Відомо, що загальний розв’язок будь-якого лінійного рівняння -го порядку є сума функцій , де – деяке комплексне число, що є коренем характеристичного рівняння для цього диференціального рівняння. Виходячи з цього, під час вивчення системи за допомогою диференціального рівняння було б зручним представити вхідний сигнал і вихідний сигнал (розв’язок рівняння) у вигляді суми функцій .

Таким чином, необхідно наші сигнали-вектори знову розкласти за деяким базисом функцій-векторів, цього разу залежних від змінної . Такий розклад має назву прямого перетворення Лапласа:

.

(1.4)

Йому відповідає обернене перетворення Лапласа:

.

(1.5)

Перетворення Лапласа також називають переходом в область зображень. У цій області операції диференціювання відповідає множення на , а інтегруванню – ділення на . Тому співвідношення (1.2) можна узагальнити: , де функція називається передавальною функцією системи . Таке подання лінійної системи, як ми побачимо пізніше, дозволяє спростити розв’язання більшості завдань обробки сигналів.