12.
Параболическая интерполяция.
Формула Лагранжа.
Общий случай. Какова бы ни была задана функция f(x) и как бы ни были выбраны узлы интерполяций x0,
x1,...xn, всегда существует единственный многочлен, n-й степени φn(x), принимающий в этих точках те же значения, что и f(x): φ(xί)=f(xί) (ί=0,1,2,...n). Для нахождения интерполяционного многочлена может служить формула Лагранжа: φn=L0(x)f0+ L1(x)f +...+ Ln(x)fn , где Lί(x)= (x-x0)...(x-xί-1)(x-x ί+1)...(x-x n)
(x ί-x 0)...(x ί-x ί-1)(x ί-x ί+1)...(x ί-x n)
и F ί =F(x ί). Если требуется вычислить значение φn(x) при каком-либо определённом x, может быть использована следующая схема («крест на крест») особенно удобная при применении счётной машины:
x0 –x f0
x 1-x f1 (f0, f1)
x 2-x f2 (f0, f2) (f0,f1,f2 )
......................................................................
x n –x fn (f0, fn ) (f0,f1,fn) .... (f0,f1........, fn ).
Каждый символ (f0,f1........, fk) обозначает значение в точке х интерполяционного многочлена, построенного по узлам x0, x1,......, xk . Эти числа вычисляются, столбец за столбцом, следующим образом. Числа столбца (f0,fk) получают по формуле (f0,fk) = (x0 –x)fk – (xk–x)f0 Каждый следующий столбец получается из
предыдущего
по такой же схеме, (x0
–x)
– (xk
–x)f0
например :
(f0,f1,fk
)= (x1
–x)(f0,fk
)– (xk–x)(f0,f1)
и т.д.
(x1 –x) – (xk –x)
Пример: Требуется вычислить sin 50, используя пятизначные значения синусов, 0, 30, 45, 60, 90. Схема «крест на крест» в этом случае выглядит следующим образом:
-59 0.00000
-20 0.50000 0.83333
-5 0.70711 0.78568 0.7 6980
10 0.86603 0.72169 0.7 5890 66 17
40 1.00000 0.55556 0.7 4074 66 57 04
Если первые цифры в каком-либо столбце оказываются одинаковыми (в приведенном примере они отделены), их можно не вводить в дальнейшие вычисления. Так например, в последнем столбце получаются последние цифры результата : (10*57-40*17)/(10-40)=04, окончательно, sin50=0.76604