Ответы на экзаменационные вопросы по АиГ / 13

13.

Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей.

3.1.1. Определители второго порядка

Таблица вида

называется квадратной матрицей второго порядка.

Соответствующие элементы а11, а12, а21, а22 называются элементами матрицы.

Элементы Матрицы образуют ее строки и столбцы. Для обозначения элемента матрицы используют двойной индекс. Первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, на пересечении которых находится элемент. Так, элемент aik расположен на пересечении i-ой строки и k-го столбца.

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством det А = а11а22 - а12а21.

Диагональ, образованная элементами а11 и а22 называется главной.

Диагональ, образованная элементами а12 и а21 называется побочной.

Таким образом, чтобы вычислить определитель второго порядка, надо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали.

3.1.2. Определители третьего порядка

Таблица вида

называется квадратной матрицей третьего порядка.

Соответствующие элементы а11, а12, а13, а21, а22, а23, а31, а32, а33 называются элементами матрицы.

Элементы Матрицы образуют ее строки и столбцы. Для обозначения элемента матрицы используют двойной индекс. Первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, на пересечении которых находится элемент. Так, элемент aik расположен на пересечении i-ой строки и k-го столбца.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством det А = а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 - а31а22а13 - а21а12а33 - а11а32а23.

Диагональ, образованная элементами а11, а22 и а33 называется главной.

Диагональ, образованная элементами а31, а22 и а13 называется побочной.

Чтобы запомнить правило вычисления определителя третьего порядка, достаточно мысленно построить так называемую "звезду Давида". Делается это следующим образом:

Здесь указана звезда для положительных элементов. Находится произведение элементов по главной диагонали и по углам треугольников, одна из сторон каждого из которых параллельна главной диагонали. Всего три произведения по три элемента. Затем эти произведения суммируются (см. в определении).

Здесь указана звезда для отрицательных элементов. Находится произведение элементов по побочной диагонали и по углам треугольников, одна из сторон каждого из которых параллельна побочной диагонали. Всего три произведения по три элемента. Затем эти произведения суммируются и отнимаются от суммы произведений положительных элементов (см. в определении).

3.1.4. Свойства определителей

1. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять ролями:

2. При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак на противоположный:

3. Общий множитель элементов какой-нибудь строки (какого-нибудь столбца) может быть вынесен за знак определителя:

4. Если все элементы некоторого столбца (некоторой строки) равны нулю, то сам определитель равен нулю:

5. Если элементы двух столбцов (строк) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю:

С л е д с т в и е. Если определитель имеет два одинаковых столбца (две одинаковых строки), то он равен нулю:

6. Свойство линейной комбинации параллельных рядов определителя. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца (одной строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (другой строки), умноженные на одно и то же число:

7. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (либо его столбца) на их алгебраические дополнения.

8. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (какого-нибудь столбца) на алгебраические дополнения другой строки (другого столбца) равна нулю.