Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство морского и речного транспорта

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ГОСУДАРСТВЕННАЯ МОРСКАЯ АКАДЕМИЯ

имени адмирала С.О. Макарова

филиал в городе Архангельске

АРКТИЧЕСКИЙ МОРСКОЙ ИНСТИТУТ

имени В.И. Воронина

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 102

по курсу Физики

Оборотный маятник

Выполнил:

студент 1 курса АМИ

Данилюк Дмитрий Юрьевич

№ зачетной книжки: А- 8126674

Проверил: В. Э. Махин

Архангельск 2012

Оборотный маятник

Цель работы: изучение свойств оборотного маятника, определение ускорения свободного падения.

Теоретические положения.

Физический маятник – абсолютно твердое тело, способное совершать колебания относительно неподвижной горизонтальной оси, непроходящей через центр масс тела. Точка пересечения оси вращения с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс тела, называется точкой подвеса А маятника (рис.1).

А бсолютно твердое тело – физическая абстракция, под которой понимают тело, недеформирующееся во время движения. При этом расстояние между двумя любыми точками тела при любом движении остается неизменным.

Поскольку физический маятник является абсолютно твердым телом, постольку положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его относительно положения равновесия. При этом играет роль угловой координаты любой точки тела.

При отклонении маятника на малый угол относительно положения равновесия, единственной силой, создающей вращающий момент, является сила тяжести , приложенная к центру масс тела С (рис.1). Плечо этой силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы):

- расстояние от точки подвеса до центра масс тела.

Момент силы тяжести:

Если угол мал, то в соответствии с первым замечательным пределом:

, рад.

(1)

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения суммарный момент всех сил, действующих на тело, сообщает телу с моментом инерции угловое ускорение :

(2)

Подстановка в (2) выражения для момента силы тяжести из (1) с учетом того, что вращение, задаваемое силой тяжести обратно вращению, выведшему маятник из состояния равновесия, приводит к уравнению движения маятника:

Связь между угловыми характеристиками движения:

позволяет придать уравнению движения дифференциальный характер:

(3)

Приведение уравнение (3) к виду (4):

(4)

и сравнение (4) с дифференциальным уравнением гармонических колебаний:

позволяет сделать следующие выводы:

1. Физический маятник, выведенный из состояния равновесия и предоставленный сам себе, совершает гармонические колебания.

2. Собственная циклическая частота колебаний физического маятника определяется множителем перед :

3. Период собственных незатухающих гармонических колебаний физического маятника:

(5)

Из (5) следует, что совокупность свойств тела и окружающей среды определяет новое свойство тела при колебательном движении - период собственных незатухающих гармонических колебаний физического маятника.

В совокупность свойств входят:

1. Масса тела m – мера инертности тела при поступательном движении. Определяет способность тела сохранять состояние равномерного прямолинейного движения (или состояние покоя) неизменным. Количественно масса определяется непосредственно по взаимодействию с эталоном, или косвенно – взвешиванием.

2. Момент инерции тела J – мера инертности тела при вращательном движении. Определяет способность тела сохранять состояние равномерного вращения (или состояние покоя) неизменным. Значение момента инерции зависит и от массы тела, и от распределения вещества по объему тела. Количественно момент инерции тела можно рассчитать, используя свойство аддитивности момента инерции (такое же свойство в классической механике присуще массе и количеству вещества). Согласно этому свойству момент инерции тела относительно данной оси равен сумме моментов инерции материальных точек, образующих тело, относительно той же оси. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси равен произведению массы m_i точки на квадрат расстояния r_i до этой оси: . Момент инерции тела, состоящего из n материальных точек:

При известном законе распределения вещества по объему тела выражению можно придать дифференциально-интегральный характер:

Проще всего рассчитывается или определяется момент инерции тела J_C относительно оси, проходящей через центр масс тела С. Для расчета момента инерции тела относительно произвольной оси используется теорема Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его J_C относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния между осями:

3. - расстояние между точкой подвеса и центром масс тела. Центр масс (центр инерции) – воображаемая геометрическая точка тела С, радиус-вектор которой в выбранной системе отсчета определяется через радиус-векторы материальных точек массами , на которые можно разложить тело массы :

Скалярные координаты центра масс определяются, как проекции на координатные оси:

С уммарный момент силы тяжести, действующий на тело относительно любой оси, проходящей через центр масс, равен нулю, и тело находится в состоянии безразличного равновесия.

4. g – ускорение свободного падения, определяющее взаимодействие маятника с окружающей средой. Пренебрегая всеми силами, кроме силы тяжести, к окружающей среде можно отнести только поле силы тяжести Земли. Значение g зависит от географической широты: на полюсе g = 9,832 м / с², на экваторе g = 9,780 м / с². Различие обусловлено сплюснутостью Земли у полюсов и суточным вращением Земли.