3. Скалярное произведение векторов.

Под углом между ненулевыми векторами и будем понимать угол между направленными отрезками и , имеющими общее начало и обозначается .

Векторы и называются ортогональными, если угол между ними прямой =π/2 и обознается .

Определение 15. Скалярным произведением векторов и называется число .

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то неопределен и считается .

Пусть - вектор, l – прямая, точка ОÎ l. Отложим и построим точку A₁ – ортогональную проекцию точки А на l.

Говорят, что ОА₁ - проекция вектора на ось l и обозначают ОА_{1 .}

Из прямоугольного треугольника ОАА₁ получаем то есть

Теорема 7. (Свойства скалярного произведения векторов)

1. :

2. :

3. , Î ℝ:

4. :

Доказательство.

1. = =

2. Учтем, что = = = .

Тогда, применяя свойства проекций получим = .

_3. Доказывается аналогично с учетом свойства проекций:

_{4. пппп}

Теорема 8 (критерий ортогональности векторов). Пусть Тогда

Доказательство.

а) Необходимость(). Пусть

=0.

а) Достаточность(). Пусть =0. Так как и , то и cos =0 (поскольку Î [0, π]) .

Определение 16. Базис { , , } пространства называется ортонормированным, если его различные векторы попарно ортогональны и их длины равны 1.

Векторы ортонормированного базиса называются ортами координатных осей и обозначаются , то есть

Определение 17. Аффинная система координат, базис которой ортонормирован, называется прямоугольной декартовой системой координат {О, }.

Для ортов справедливо

1) Скалярное произведение одноименных ортов равно 1. Действительно, Аналогично .

2) Скалярное произведение разноименных ортов равно 0. Например, по теореме 8, так как . Аналогично

Теорема 9. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов , выражается через их координаты по формуле .

Доказательство следует из свойств скалярного произведения в ортонормированном базисе – Гл.

Следствие 9.1. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат , . Тогда

1.

2. cos =

Доказательство.

1. По теореме 7,

2.

(теорема 9, сл. 9.1)

4. Векторное и смешанное произведение векторов.

Определение 18. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой), если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки, в противном случае тройка векторов называется левой.

левая правая

Определение 19. Векторным произведением вектором и называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. , т.к.

2.

3. образуют правую тройку векторов

В частности, из п.1, определения 19 следует, что если хотя бы один из векторов равен , то их векторное произведение равно , поскольку имеет нулевую длину.

Теорема 10. (Свойства векторного произведения векторов)

1. антикоммутативность.

2. если ∦ , то - площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

3.

4.

5. Пусть Тогда || .

Доказательство. 1. Пусть , , по определению 19,

а) .

б) ; || .

в) - правая тройка, - правая тройка , что видно из рисунка.

Из а-в), по определению 7 противоположного вектора, следует , что и требовалось доказать.

2. Определение 19

5. Необходимость () || .

Достаточность () или или  || или || или || .

Теорема 11. Пусть в правом ортонормированном базисе векторы заданы своими координатами , .

Тогда

То есть .

Из свойств векторного произведения следует, что

1) Векторное произведение одноименных ортов равно . Действительно, по теореме 10 (5), , так как || , || , || .

2) Векторное произведение разноименных ортов находится по правилу

.

Определение 20. Смешанным произведением векторов называется число и обозначается .

Теорема 12. (Свойства смешанного произведения векторов)

1. Смешанное произведение векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на : .

2. компланарны.

3. . То есть, формально, в записи смешанного произведения знаки операций можно менять местами. Исходя из этого в обозначении не ставят знаки операций.

4. . То есть, от перемены мест двух любых сомножителей в смешанном произведении знак смешанного произведения меняется на противоположный.

Теорема 13. Пусть в правом ортогональном базисе векторы заданы своими координатами: , , .

Тогда смешанное произведение

Доказательство следует непосредственно из теорем 9 и 11.

13