Теорема Безу.
Для того, чтобы многочлен Pn(x) делился бы на x-x0 без остатка, необходимо и достаточно, чтобы x0 – был корнем данного многочлена.
Док-во:
Необходим Pn(x)/x0 без остатка, требуется док-ть, что x0 – корень.
Pn(x)=(x-x0)Qn-1(x), подставим x0 получаем Pn(x0)=0
Достаточно
x0 –корень
Pn(x)/(x-x0) – без остатка, предположим противоположное Pn(x)/(x-x0) =с –остаток т.е
Pn(x)=(x-x0) \Sn-1 +R (-нулевая степень остатка)
Подставляем в последнее равенство вместо x P(x0)=0+R т.к x0 – корень этого многочлена.
Т.к. Pn многочлен 0-ой степени, то R=0 => значение Pn(x)- делится на x-x0 без остатка.
Билет N33
Рациональные дроби.
Р.д- дробь вида Pn(x)/Qn(x), где pn(x) и- многочлены степени m или n соответственно Среди рациональных дробей выделяются правильные и неправильные дроби : Pn (x)/Qn(x)- правильная, если m>т (т.е. степень Qn(x) > степени Pn(x) ). В противном случае- дробь неправильная.
Существуют простые дроби :
1) A/(x-a) 2) A/(x-a)k 3) (Ax+B)/(x2+px+q) где p2-4q<0 4) (Ax+B)/(x2+px+q)k, p2-4q<0
Пусть дана любая неправильная дробь Pn(x)/Qn(x), тогда эту дробь можно представить в виде Pn(x)/Qn(x)=Sn-m(x)+Pe (x)/Qm(x)
Рассмотрим правильную дробь Pn(x)/Qm(x), пусть многочлен Qm(x) имеет вещественный корень а кратности k, тогда Qm(x)=(x-a)k Sm-k(x), где Sm-k(a) ≠0, тогда Pn(x)/Qm(x)=Pn(x)/(x-a)kSm-k(x)
Покажем, что правильная дробь Pn(x)/(x-a)kSm-k(x) может быть представленна в виде суммы двух дробей : A/(x-a)k + Pe (x)/(x-a)k-1Sm-k(x) , где последняя дробь правильная
Действительно, очевидно имеет место тождество
Pn(x)/(x-a)k Sm-k(x)= A/(x-a)k + (Pn(x)-ASm-k(x))/ (x-a)k Sm-k(x) при любом A
Для того, чтобы в числителе последней дроби выделить сомножитель ( x-a ), нужно подобрать A т.о., чтобы числитель делился бы на ( x-a ) без остатка.
Как известно, по Th Безу для этого достаточно, чтобы а было корнем указанного многочлена.
Pn(a)- ASm-k(a)=0. , т.к. Sm-k(a)≠0, то отсюда легко находим A=Pn(a)/ Sm-k(a). При полученном A правильная дробь Pn(x)/(x-a)k Sm-k(x) представима в виде
A/(x-a)k + Pe (x)/(x-a)k-1Sm-k(x), где Pe (x)=(Pn(x)-A Sm-k(x))/(x-a)
Легко видеть, что предпоследняя дробь- правильная => по только что доказанному она представима в виде суммы: Pe(x)/(x-a)k-1 Sm-k(x)=B/(x-a)k-1 +Pe(x)/(x-a)k-2 Sm-k(x), где последняя дробь- правильная, а она в свою очередь, может быть представлена в виде суммы.
И тогда окончательно мы получим, что правильная дробь
Pn(x)/(x-a)k Sm-k(x)=A1/(x-a)k + A2/(x-a)k-1 +…+ Ak/(x-a) + Pe(x)/ Sm-k(x), где последняя дробь- правильная.
Билет n 34
Пусть теперь дана правильная дробь Pn(x)/Qn(x) и пусть Qn(x) имеет комлексно сопряженные корни, каждый из которых имеет кратность k, т.е
Qm(x)=(x2+px+q)k Sm-2k(x) , p2-4q<0, тогда имеет место равенство
Pn(x)/Qn(x)=Pn(x) / (x2+px+q)k Sm-2k(x)=(Ax+B)/ (x2+px+q)k + Pe(x) / (x2+px+q)k-1Sm-2k(x), где последняя дробь- правильная.
Таким образом, окончательно получаем, что любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:
Pn(x)/Qm(x)= A1/(x-a)k1 + A2/(x-a)k1-1 +…+ Ak1/(x-a) + B1/(x-b)k2 +…+ Bk2/(x-b)+ +(C1x+D1) / (x2+p1x+q1)m1 +…+ (Cm1x+Dm1) / (x2+p1x+q1) , где k1+k2+2m1=n
Билет N35
Квадратные матрицы.
Рассмотрим некую систему уравнений.
a11 a12 … a1n x1 b1
A= a21 a22 … a2n x= x2 B= b2
……………. … …
an1 an2 … ann xn bn
Тогда данную систему можно переписать
A*x=B
A1- правая обратная матрица для A
A2- левая обратная матрица, если A2*A=E
Если матрицы имеют правую и левую обратную матрицу, то эти матрицы совпадают
Умножение слева на A2
A*A1=E A2 A2*A*A1=A2E
EA1=A2E
EA1= A2
A2 = A1
Пусть дана квадратная матрица A, A-1 называется обратной по отношению к матрице A, если имеет место равенство.
A* A-1 = A-1*A=E
Определитель матрицы отличен от нуля => есть обратная
Пусть даны 2 кв. матрицы одного и того же порядка, тогда имеет место равенство :
│A*B│= │A││B│
Ясно, что если матрица A имеет обратную А-1, то определитель │A│не равен 0.
Предложим потивное
│A*A-1│=│E(=1)│
│A(=0)││A-1│=1 абсурд, не может быть
Покажем теперь, что если матрица A не выражена, то она имеет обратную матрицу.
Дана:
a11 a12 … a1n
A= a21 a22 … a2n │A│ ≠ 0
…………….
an1 an2 … ann
Рассмотрим матрицу
A11 / │A│ A12 /│A│ … An1 /│A│
B= A12 / │A│ A22 /│A│ … An2 /│A│
……………………………………..
A1n / │A│ A2n /│A│ … Ann /│A│
Произведение
a11 a12 … a1n A11 / │A│ A12 /│A│ … An1 /│A│
A*B= a21 a22 … a2n * A12 / │A│ A22 /│A│ … An2 /│A│
……………. ……………………………………..
an1 an2 … ann A1n / │A│ A2n /│A│ … Ann /│A│
1 0 … 0
A*B= 0 1 … 0
………..
0 0 … 1
A это и означает, что матрица B является обратной по отношению к А, т.о. мы получили что для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу A-1, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была не вырожденной (│A│≠ 0) При этом обратная матрица
A11 / │A│ A12 /│A│ … An1 /│A│
A-1= A12 / │A│ A22 /│A│ … An2 /│A│
……………………………………..
A1n / │A│ A2n /│A│ … Ann /│A│
Билет N36
Собственные числа и собственные вектора.
В дальнейшем матрицу- столбец будем называть вектором.
Рассмотрим кв. матрицу A и вектор X размерностью n.
Произведение AX=Y, Y-вектор
Существует вектор X, что AX= λX
Опр: Не нулевой вектор X, для которого выполняться равенство
AX= λX называется собственным вектором матрицы A, а соответствующее ему число λ, называется собственным числом матрицы A.
Покажем, что любая кв. матрица А имеет ровно n собственных чисел, с учетом их кратности.
Пусть λ- собственное число, а X соответствующее ему собственный вектор матрицы A
AX= λX
AX- λX=0
AX- λEX=0
(A-λE)X=0
Очевидно, последнее равенство(ур-ие) равносильно некоторой однородной системе линейных ур-ий. Т.к. эта система имеет не тривиальное решение (X≠0 ), то определитель данной системы должен равняться 0, т.е. для нахождения собственных чисел получаем уравнение : │A-λE│=0
(a11 -λ) a12 … a1n т.к. каждая строка содержит λ, то данный
│A-λE│= a21 (a22 –λ) … a2n определитель представляет- многочлен n-ой
…………………………… степени относительно λ, а тогда, как известно,
an1 an2 … (ann –λ) этот многочлен имеет ровно n комплексных корней ( с учетом кратности).