- •Кафедра высшей математики
- •§ 2. Операции над свободными векторами: сложение и умножение на число.
- •§ 3. Линейная зависимость векторов. Коллинеарность и компланарность векторов.
- •§ 4. Проекции закреплённых и свободных векторов на плоскость и прямую.
- •4.1 Ортогональная проекция на плоскость
- •4.3 Ортогональная проекция на прямую
- •§ 5. Базисы в v3. Координаты векторов относительно базиса.
- •§ 6. Ортогональная система координат в пространстве. Длина вектора.
- •§ 1. Ориентация пространства. Правые и левые тройки некомпланарных векторов.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов.
- •§ 3. Векторное произведение векторов.
- •§4. Смешанное произведение векторов.
- •§ 1. Каноническое уравнение плоскости в пространстве
- •§ 2. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве
- •§3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” имени В.И. Ульянова (Ленина)»
(СПбГЭТУ)
Кафедра высшей математики
Типовой расчет № 1.3
Вариант 15
Выполнил: студент группы 7811 (А.В. Петровский)
Проверил: (К.Ф. Мус)
Санкт-Петербург
2007
Задание
Даны точки:
Найти:
уравнение плоскости , проходящей через точки,,и плоскости, проходящей через точки,,;
уравнение прямой , проходящей через точкии;
косинус угла междуии синус угламеждуи, синус угла и углы в радианах;
площадь треугольника;
точку , симметричнуюотносительно;
расстояние отдо: как длина перпендикуляра, издо.
Определения, обозначения, соотношения, используемые в работе
§ 1. Определения свободного и закрепленного геометрических векторов.
Определение 1: Закрепленный вектор – отрезок с упорядоченными концами: AB,
A – начало вектора, В – конец вектора, АВ ≠ ВА.
Конец и начало вектора могут совпадать: АА – нулевой вектор.
Определение 2: Равенство закрепленных векторов:
Пусть AB и CD – закрепленные ненулевые векторы.
1) Соединим А с С и В с D (начальные и конечные точки векторов).
Если ABDC – параллелограмм, то AB = CD.
2) AB = CD, если закрепленный вектор EF : AB = EF и EF = CD.
3) Все нулевые векторы равны: АА = ВВ.
Определение 3: Свободный вектор (или просто вектор) – множество равных между собой (в смысле определения 2) закрепленных векторов.
Свободные векторы обозначаются прописными латинскими буквами – a.
Нулевой свободный вектор обозначается θ.
Определение 4: Закрепленный вектор AB является реализацией свободного вектора a, если a = { CD : CD = AB } ( То есть свободный вектор a – это множество закрепленных векторов CD, т.ч. CD = AB. )
Обозначение: AB a (допустимо а = АВ).
Предложение 1. с.в.а и т. О пространства! з.в. ОА : ОАа.
( Т.е. для любого свободного вектора a и для любой точки О пространства существует единственный закреплённый вектор OA, который является реализацией а. )
Определение 5: Длина свободного вектора a – это длина его реализации:
|a| = |AB|, если AB a, |θ| = 0.
Определение 6: Угол между свободными векторами а и b – это наименьший угол между их реализациями ОА и ОВ ( ОАа, ОВb ).
Определение 7: Свободные векторы a и b равны (a = b), если они совпадают как множества.
Из определения свободного вектора очевидно, что для того, чтобы задать свободный вектор a, достаточно задать какую-либо его реализацию, т.е. закрепленный вектор AB a.
Определение 8: V3 – множество всех свободных векторов в пространстве R3.
§ 2. Операции над свободными векторами: сложение и умножение на число.
Определение 9: Сумма свободных векторов.
Пусть a, b V3. Возьмем произвольно точку О.
Тогда ! ОАa и ! ABb т.ч. OB a+b, т.е. a+b = { CD : CD = OB}
Корректность сложения: OB a+b, O'B' a+b OB = O'B'.
Определение 10: Пусть a - свободный вектор, AB – его реализация, тогда BA является реализацией свободного вектора (-a).
(-a) – обратный вектор для a, т.е. (-a) = { BA : AB a }
Определение 11: Умножение вектора на число:
1) λ•θ = θ для λR.
2) a ≠ θ, AB a, отрезок AB лежит на прямой l.
2.1) λ = 0 λ∙a = θ.
2.2) λ > 0 ACλ∙a, где AC т.ч. |AC| = λ•|AB|, C l и т. B и C находятся по одну сторону от т. А.
2.3) λ < 0 ADλ∙a, где AD т.ч. |AD| = |λ|∙|AB|, D l и т. B и D находятся по разные стороны от т. А.
Свойства операций над векторами: a, b, c V3 , λ, μR
1) Коммутативность сложения
a + b = b + a.
2) Ассоциативность сложения
a + b + c = (a + b)+ c = a +( b + c).
3) a + θ = a.
4) a +(-a) = θ.
5) Ассоциативность умножения на число
λ(μ∙ a) = (λμ)∙ a
6) 1∙ a = a.
7) Дистрибутивность умножения на число относительно сложения векторов
λ∙( a + b) = λ∙ a +λ∙ b.
8) Дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел
(λ+μ)∙ a = λ∙ a +μ∙ a.