Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Типовой расчет 2, Вариант 20

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

208.9 Кб

Скачать

☆

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” имени В.И. Ульянова (Ленина)»

(СПбГЭТУ)

Кафедра высшей математики

Типовой расчет № 1.1

Вариант 20

Выполнил: студент группы 7811 (А.В. Петровский)

Проверил: (К.Ф. Мус)

Санкт-Петербург

2007

Задание

Решить системы 1, 3 методом Жордана-Гаусса.
Вычислить определитель матрицы каждой системы и объяснить результат полученного множества решений системы по теореме Крамера.
Вычислить определитель матрицы , обосновать применимость к ней формул Крамера и решить систему с помощью формулы Крамера

Определения, обозначения, соотношения, используемые в работе

Основные определения ~ Линейные операции ~ Произведение матриц ~ Единичная, скалярная матрицы ~ Возведение матрицы в степень ~ Транспонирование матрицы ~ Обратная матрица ~ Ортогональная матрица

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a_ij , i=1,..., m, j=1,..., n:

расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок матрицы).

Линейные матричные операции По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы. Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.

Произведение матриц определяется следующим образом. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если

, ,

то произведением матриц A и B, называется матрица

элементы которой вычисляются по формуле

c_ij =a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... +a_in b_nj , i=1, ..., m, j=1, ..., k.

Произведение матриц A и B обозначается AB, т.е. C=AB.

Произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей. Если AB=BA, то матрицы A и B называются перестановочными.

Для квадратных матриц определена единичная матрица - квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные - нули:

Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или E_n, где n - порядок матрицы. Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы:

AE=EA=A.

Скалярной матрицей называется диагональная матрица с одинаковыми числами на главной диагонали; единичная матрица - частный случай скалярной матрицы.

Для квадратных матриц определена операция возведения в целую неотрицательную степень:

A⁰ =E, A¹ =A, A² =AA, ..., Aⁿ =A^n-1 A, ....

Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице и обозначается A^T:

, .

Верны соотношения: (A^T )^T =A; (A+B)^T=A^T +B^T ; (AB)^T =B^T A^T.

Квадратная матрица A, для которой A^T =A, называется симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Квадратная матрица A называется обратимой, если существует такая матрица X, что AX=XA=E. Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A^-1, т.е. A A^-1 =A^-1A=E.

Известно, что если матрица A невырождена (т.е ее определитель отличен от нуля), то у нее существует обратная матрица A^-1.

Верно соотношение: (A^-1)^T =(A^T )^-1.

Квадратная матрица U, для которой U^-1 =U^T, называется ортогональной матрицей.

Свойства ортогональной матрицы:

Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.
Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице.
Сумма произведений элементов любого столбца ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю. Такими же свойствами обладают строки ортогональной матрицы.

Разложение определителя по 1-ой строке ~ Разложение определителя по i-ой строке и j-ому столбцу ~ Определители матриц 2 и 3 порядков

Пусть A квадратная матрица порядка n, n>1. Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число

det A= = ,

где M₁^<j> - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a_1j .

Формула det A = называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке. Число (-1)^j+1 M₁^<j> называется алгебраическим дополнением элемента a_1j.

Пусть M_i^<j> - определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (минор элемента a_ij ). Число (-1)^j+i M_i^<j> называется алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы A. Справедливы формулы вычисления определителя квадратной матрицы A разложением по i-й строке и разложением по j-му столбцу:

det A= = = =

для i=1,2,...,n, j=1,2,...,n.

Для квадратной матрицы второго порядка формула вычисления определителя упрощается:

det = = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁,

поскольку, например, в формуле разложения определителя по 1-ой строке M₁^{< 1>} =a₂₂ , M₁^{< 2>} =a₂₁.

Для квадратной матрицы третьего порядка формула вычисления определителя разложением по 1-ой строке имеет вид:

=-+.

СЛАУ. Матричная форма записи. Решение матричных уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x₁ , x₂ , ..., x_n:

Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:

ⁿ_i=1a_ij x_j = b_i , i=1,2, ..., n.

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b, где

, , .

Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением.

Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:

x=A^-1 b.

Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера).

Если определитель D=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x₁ , x₂ , ..., x_n, определяемое формулами Крамера

x_i =D_i / D, i=1,2, ..., n,

где D_i - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом правых частей b.

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁ , x₂ , ..., x_n

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

x_n =d_n , x_i = d_i -S ⁿ_k=i+1 c_ik x_k , i=n-1, n-2, ...,1.

Матричная запись метода Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы

к ступенчатому виду

с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

перестановка строк;
умножение строки на число, отличное от нуля;
сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).

Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица , последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.