Некоторые определения по элементарной геометрии

Опр. Параллельные лучи АВ и СД называются сонаправленными, если они лежат в одной полуплоскости с границей АС.

Опр. Лучи лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если один из них содержит другой.

Опр. Если два луча лежат на параллельных прямых или на одной прямой, но не сонаправлены, то они называются противоположно-направленными.

Опр. Отрезок называют направленным, если имеется порядок в котором заданы его концы.

Опр. Отрезки называются эквивалентными если они одинаково направлены и имеют равные длины.

Лемма(Признак эквивалентных отрезков). Направленные отрезки AB и CD эквивалентны тогда и только тогда, когда середины отрезков AD и BC совпадают.

Док-во: Необх: Пусть AB~CD докажем, что середины отр-ов совпадают. а)Пусть отрезки АВ и CD лежат на параллельных(различных) прямых. Тогда четырех-ник ABCD-парал-рам (по признаку: 2 стороны равны и парал-ны) => диагонали AD и CB парал-ма делятся точкой О пополам. б)Если же AB и CD лежат на одной прямой AB=CD и пусть О – середина отрезка ВС. Докажем, что О-середина отрезка АD. АВ+ВО=ОС+СDАО=ОD, т.е. середины отрезков совпадают. Дост: Пусть середины отрезков AD и BC совпадают. Докажем, что AB~CD. В случае а)по признаку паралел-ма (если диагонали четырех-ника делятся точкой пересечения пополам) => AB~CD. В случае б) имеем:AO=OD, BO=OC => AO-BO=DO-OCAB=CD. Т.е. AB~CD

Опр. Вектор – это множество всех направленных отрезков, любые два из которых эквивалентны.

Опр. Вектор – это множество всех сонаправленных отрезков, равных по длине.

Опр. Вектор Каждый класс эквивалентных между собой направленных отрезков в множестве С называется свободным вектором.

Лемма2 Если АБ=ЦД, то АЦ=БД. Док-во:По условию леммы АБ=ЦД=>АБ~СД. По признаку эквивалентных направленных отрезков (по признаку эквивалентных отр-ов) середины совпадают. Рассмотрим отрезки АЦ и БД. Так как середины отрезков АД и СВ совпадают (точка О), то по признаку экв. отр-ов АЦ~БД=>АЦ=БД.

Опр. Говорят, что вектор а параллелен прямой к, если какой-нибудь его представитель параллелен этой прямой или лежит на ней.

Опр. Векторы а и в называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны, т.е. а||в, а||к и в||к

Опр. Векторы а и в называются одинаково направленными, если одинаково направлены отрезки АБ и ЦД, и противоположно направленными, если противоположно направлены эти отрезки.

Опр. Длинной вектора называется длина любого представителя этого вектора.

Опр. Вектор называется единичным, если его длина равна единице.

Опр.Пусть даны векторы а и в. От какой-нибудь точки А отложим вектор АВ=а, затем от точки В отложим вектор ВС=в. Вектор АС называется суммой векторов а и в и обозначается как с=а+в

Теорема1: Для произвольных векторов а, в, с справедливы след. свойства: 1)коммутативность 2)ассоциативность Док-во: 1)пусть а и в произвольные векторы. От какой-нибудь точки А отложим векторы АВ=а, АД=в, затем отложим от точки В вектор ВС=в. По построению АД=ВС=>АВ=ДС (по лемме 2) т.е. ДС=а. По правилу треугольника АВ+ВС=АС и АД+ДС=АС, т.е. (а+в=АС=в+а)=>а+в=в+а 2) пусть а и в и с произвольные векторы. От какой-нибудь точки А отложим последовательно векторы АВ=а, ВС=в, СВ=с по правилу треугольника находим: АВ+ВС=АС, АС+СД=АД, а так же ВС+СД=ВД, АВ+ВД=АД =>(а+в)+с=АД, а+(в+с)=АД =>(а+в)+с=а+(в+с)

Опр. Разностью векторов а и в называется такой вектор х, что в+х=а.

Опр. Произведением вектора а на действительное число к называется вектор р, который удовлетворяет условиям: 1)|р|=|к||а|, где |к|- модуль числа к. 2) р сонаправлен с а, если к>=0; р разнонаправлен с а, если к <0. Обозначение р=ка

Лемма3. Если при гомотетии с центром О и коэффициентом к ∆ОАВ переходит ∆ОА`В`, то А`В`=кАВ. Док-во: По определению гомотетии ОА`=|к|ОА; ОВ`=|к|ОВ, поэтому ∆ОАВ подобен ∆ОА`В`. Отсюда следует, что А`В`=|к|АВ и А`В`||АВ. Если к>0, то точки В b В` лежат в одной полуплоскости с границей ОА, поэтому А`В` сонаправлен АВ =>А`В`=кАВ. Если к<0, то точки В b В` лежат в разных полуплоскостях с границей ОА, поэтому А`В` разнонаправлен с АВ =>А`В`=кАВ.

Свойства умножения вектора на число:

1)1*a=a, (-1)a=-a

2)A(Ba)=(AB)a - ассоциативный закон.

3)А(а+b)=Аа+Ав – 1 дистрибутивный закон.

4) (А+В)а= Аа+Ав – 2 дистрибутивный закон.

Теорема2: Если векторы а и b коллинеарны и а не равен 0, то существует единственное число А такое, что b=Аа. Док-во:I. Сначала докажем существование числа А, удовлетворяющего равенству b=Aa. Так как а||b=> (а сонаправлен с b или а разнонаправлен с b). 1) рассмотрим случай, когда а сонаправлен с b. Положим А=|b|/|а|, введем вектор w=a*|b|/|а|. Докажем, что вектор w=b. Действительно, имеем: (|w|=|a|*|b|/|а|=|b| а, так же ((w сонаправлен с а, а сонаправлен с b)=>w сонаправлен с b) Отсюда следует: w=b (по признаку равенства векторов). Значит, число А удовлетворяет b=Аа. 2)Пусть теперь а и b разнонаправлены. Рассмотрим число А=-|b|/|а| и вектор с=-а*с Имеем: (|с|=|a|*|b|/|а|=|b| а, так же ((с сонаправлен с а, а сонаправлен с b)=>с сонаправлен с b) Отсюда следует: с=b (по признаку равенства векторов). Значит, число А=-|b|/|а| удовлетворяет b=Аа. II. Докажем теперь, что число А, удовлетворяющее условию b=Аа, определяется однозначно. Положим, что это не так => b=Ва. Из равенств b=Ва b=Аа следует, что Аа=Ва(А-В)а=0А-В=0А=В, так как а не равен 0.

Теорема (Признак коллинеарности векторов): Два ненулевых вектора а и в коллинеарны тогда и только тогда, когда существует единственное число А такое, что в=Аа, т.е а||bb=Aa. Док-во: Необх: Пусть a||b. По теореме2 следует, что b=Aa причем А-единственное число. Дост.: Если b=Aa=>b||a (по определению операции умножения вектора на число).

Опр. Будем говорить, что вектор а параллелен плоскости А, если он параллелен некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.

Опр. Векторы а, в, с называются компланарными, если существует плоскость которой они параллельны.

Теорема4: Если векторы а, в, с компланарны, а векторы а и в не коллинеарны, то существуют единственные числа А и В такие, что: с=Аа+Вв. Док-во: Сначала докажем существование чисел А и В, удовлетворяющих равенству теоремы. Отложим от некоторой точки О векторы ОА=а, ОВ=в, ОС=с.Эти векторы компланарны, поэтому точки О, А, В, С лежат в одной плоскости, причем точки О, А, В не лежат на одной прямой (векторы ОА=а, ОВ=в не коллинеарны). Если точка С лежит на прямой ОВ, то векторы ОВ=в и ОС=с коллинеарны, поэтому по теореме о коллинеарных векторах существует такое число В, что с=Ввс=0*а+В*в. Таким образом, имеет место равенство с=Аа+Вв. Рассмотри случай, когда точка С не лежит на прямой ОВ. Проведем прямую СС₁||ОВ, где С₁-точка прямой ОА. По правилу треугольника ОС=ОС₁+С₁С. Но ОС₁||ОА, СС₁||ОВ, поэтому существуют числа А и В такие, что ОС₁=Аа, С₁С=Вв. Следовательно, ОС=Аа+Вв, т. е. имеет место равенство теоремы. 2) Докажем теперь, что числа А и В, удовлетворяющие уравнению теоремы, определяются однозначно. Предположим противное =>с=А₁а+В₁в. Имеем: (А-А₁)а+(В-В₁)в=0, мы утверждаем, что А-А₁=0 и В-В₁=0. В самом деле, если, например, допустить, что (А-А₁) не равно 0, то из (А-А₁)а+(В-В₁)в=0 находим а=(В₁-В)*в/(А-А₁), что невозможно, так как по условиям теоремы а не коллинеарен в. Верно и обратное утверждение.

Теорема5: Если векторы а, в, с таковы, что а не коллинеарен в и с=Аа+Вв, то они компланарны. Док-во: Отложим от некоторой точки О пространства вектор ОА=Аа, затем от точки Е вектор ЕХ=Вв. Так как ОЕ+ЕХ=ОХ, то Аа+Вв=ОХ. Из с=Аа+Вв и Аа+Вв=ОХ следует , что ОХ=с. Через точки О, Е, Х проходит плоскость w=(ОЕХ). Так как А не равно 0, В не равно 0, то из равенства ОЕ=Аа, ЕХ=Вв, ОХ=с следует, что векторы а, в, с параллельны плоскость w, поэтому они компланарны. (Теоремы 4 и 5 формулируют необх. и дост. Условие компланарности 3-х векторов)

Теорема6: Пусть даны векторы а,в,с такие, что а не коллинеарен в. Для того чтобы векторы а, в, с были компланарны необх. и дост. Чтобы выполнялось след: с=Аа+Вв

Теорема7: Если векторы а, в, с не компланарны, то для любого вектора р существуют единственные числа α, β, γ такие, что р=αа+βв+γс. Док-во: Докажем сначала существование чисел α, β, γ, удовлетворяющих равенству теоремы. Отложим от некоторой точки О пространства векторы ОА=а, ОВ=в, ОС=с, ОР=р. Так как векторы а, в, с не компланарны, то точки О, А, В, С не лежат в одной плоскости. а) Если точка Р лежит на прямой ОС, то векторы ОС=с и ОР=р коллинеарны, поэтому по теореме 3 о коллинеарных векторах р=γс или р=0*а+0*в+γ*с. Итак мы получили равенство вида р=αа+βв+γс. Аналогично рассматриваются случаи, когда точка Р лежит на прямой ОВ или ОА. б) Пусть точка Р лежит, например, в плоскости АОС (аналогично доказываются случаи, когда точка P лежит в плоскости АОВ или ВОС). Тогда векторы ОР=р, ОА=а, ОС=с компланарны. По теореме4 о компланарных векторах р=αа+γс р=α*а+0*в+γ*с т.е.получаем равенство вида р=αа+βв+γс. в) Наконец рассмотри случай, когда точка Р не лежит ни в одной из плоскостей АОВ, АОС, ВОС. Проведем через точку Р прямую РФ||ОС, где Ф-точка пересечения этой прямой с плоскостью АОВ. Так как векторы а, в, и ОФ компланарны, то по теореме4 о компланарных векторах существуют числа α и β такие, что ОФ=αа+βв. С другой стороны, векторы ФР и с коллинеарны, поэтому существует число γ такое, что ФР=γс. По правилу треугольника: ОР=ОФ+ФР=αа+βв+γс. Докажем теперь, что числа α, β, γ удовлетворяющие равенству р=αа+βв+γс определяются однозначно. Предположим противное: р=α₁а+β₁в+γ₁с. Из равенств р=α₁а+β₁в+γ₁с и р=αа+βв+γс получаем: (α-α₁)а+(β-β₁)в+(γ-γ₁)с=0. В последнем равенстве (α-α₁)=0, (β-β₁)=0, (γ-γ₁)=0. Действительно, если допустить противное, т. е. например, (α-α₁) не равно 0, то из (α-α₁)а+(β-β₁)в+(γ-γ₁)с=0 следует а=(β₁-β)в/(α-α₁)+(γ-γ₁)с/(α-α₁). Из последнего равенства в силу теоремы6 следует, что векторы а, в, с компланарны. Получаем противоречие с условием. Итак, равенства (α-α₁)=0, (β-β₁)=0, (γ-γ₁)=0 выполняются и, следовательно, единственность разложения р=αа+βв+γс доказана.

Опр. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов {е₁,е₂,е₃} называется аффинным базисом векторов пространства. Упорядоченная тройка попарно перпендикулярных единичных векторов (ортов) называется прямоугольным декартовым базисом векторов пространства.

Опр. Коэффициенты x, y, z в разложении вектора а по аффинному {е₁,е₂,е₃} называются аффинными координатами вектора а в этом базисе. Коэффициенты x, y, z в разложении вектора а по ортонормированному базису {i, j, k}: a=xi+yj+zk называются декартовыми координатами вектора а в данном базисе.

Опр. Упорядоченная пара неколлинеарных векторов {е₁,е₂} называется аффинным базисом векторов плоскости. Упорядоченная пара единичных и перпендикулярных векторов называется прямоугольным декартовым базисом или ортонормированным базисом векторов на плоскости.

Опр. Коэффициенты в разложении а=хе₁+ye₂ (или а=xi+yj) вектора а по аффинному (декартовому) базису называются аффинными (декартовыми) координатами вектора а в этом базисе.

Опр. Рассмотри систему векторов а1,а2,…аN. И зададим N действительных чисел А1, А2,… АN. Вектор в=А1а1+А2а2+…+АNаN называется линейной комбинацией данных векторов.

Теорема8: Каждая координата линейной комбинации b=А₁а₁+А₂а₂+…+А_Nа_N векторов системы а₁,а₂,…а_N равна такой же линейной комбинации их соответствующих координат. Док-во: Пусть относительно базиса {е₁,е₂,е₃} заданы векторы p=(p₁,p₂,p₃), а₁=(x₁,y₁,z₁), a₂=(x₂,y₂,z₂), …, a_N=(x_N,y_N,z_N) и задана линейная комбинация: р=А₁а₁+А₂а₂+…+А_Nа_N. Разложим векторы системы а₁,а₂,…а_N по базису и, подставив в равенство р=А₁а₁+А₂а₂+…+А_Nа_N получим: р=А₁(x₁e₁+y₁e₂+z₁e₃)+ А₂(x₂e₁+y₂e₂+z₂e₃)+…+ А_N(x_Ne₁+y_Ne₂+z_Ne₃)=(a₁x₁+a₂x₂+…+ a_Nx_N)e₁+(a₁y₁+a₂y₂+…+ a_Ny_N)e₂+(a₁z₁+a₂z₂+…+ a_Nz_N)e_3. С другой стороны: р=xe₁+ye₂+ze₃. Сравнивая два последних равенства и учитывая, что разложение вектора р по базису однозначно (теорема7) приходим к следующей системе уравнений: x=a₁x₁+a₂x₂+…+ a_Nx_N ; y=a₁y₁+a₂y₂+…+ a_Ny_N ; z=a₁z₁+a₂z₂+…+ a_Nz_N. Из равенств р=А₁а₁+А₂а₂+…+А_Nа_N и системы уравнений следует утверждение теоремы.

Св-ва:1. Каждая координаты суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.

2. Каждая координаты разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

3. При умножении вектора на число - каждая его координата умножается на то же число.

Теорема9: Для того чтобы векторы а=(а₁,а₂,а₃) и в=(в₁,в₂,в₃) заданные координатами в базисе{е₁,е₂,е₃}, были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны. Док-во: Если один из векторов а и в нулевой, то утверждение очевидно, поэтому рассмотрим случай, когда оба вектора ненулевые. Пусть а||в. По теореме3 о коллинеарных векторах и теорем8 имеем: a||вa=λbа₁= λb₁, а₂= λb₂, а₃= λb_3.

Опр. На плоскости параллельной проекцией точки на ось l называется точка A₁ – точка пересечения оси l с прямой, проведенной через точку А параллельно вектору а, задающему направление проектирования.

Опр. Параллельной проекцией вектора АВ на ось L называется координата вектора А₁В₁ относительно базиса оси L, где точки А₁ и В₁ – параллельные проекции соответствующих точек А и В на ось L. Согласно определению имеем: А₁В₁=xex=пр_LАВ=пр_еАВ

Опр. Если вектор а перпендикулярен оси L и базис е оси L декартов, т. е. |е|=1, то проекция вектора АВ на ось L называется ортогональной. Имеем: А₁В₁=xix=орт. пр_LАВ.

Теорема10: Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ось. Док-во: АВ=а₁+а₂+…+а_N. A`B`=A`A`₁+A`<sub>1</sub>A`₂+…+A`<sub>N-1</sub>B`. Разложим векторы A`B`, A`A`₁, A`<sub>1</sub>A`₂, A`<sub>N-1</sub>B` по базису е оси L и подставим эти разложения в равенство A`B`=A`A`₁+A`<sub>1</sub>A`₂+…+A`<sub>N-1</sub>B`, получим: xe=x₁е+ x₂е+…+x_Nеxe=e(x₁+x₂+…+x_N)x=x₁+x₂+…+x_Nпр._LАВ=пр._Lа₁+пр._Lа₂+…+пр._Lа_N

Теорема11: Ортогональная проекция вектора а на ось L равна произведению модуля вектора а на косинус угла между положительным направлением оси L и вектором а, т.е. орт. пр._La=|a|*Cos(a, i). Док-во: А₁В₁=xi=>|A₁B₁|=|x|*|i|=|x|. С другой стороны, |х|=|орт. пр._LAB|=|A₁B₁|=|AC|. Их ∆АСВ находим |AC|=|AB|*|Cos(BAC)|=|a|*|Cos(a, c)|. Подставим значение |AC| в равенство |х|=|орт. пр._LAB|=|A₁B₁|=|AC| получим: |x|=|a|*|Cos(a, i)| Так как числа х и Cos(а, i) одного знака в обоих рассматриваемых случаях (1) Cos(a, i) = Ф; 2) Cos(a, i) = П-Ф), то из равенства |x|=|a|*|Cos(a, i)| следует: x=орт. пр._Lа=|а|*Cos(a, i)

Опр. Пусть дана упорядоченная тройка некомпланарных векторов: ОА=а, ОВ=в, ОС=с. Будем говорить, что эта тройка векторов (а, в, с) образует тройку векторов правой (левой) ориентации, если кратчайший поворот от ОА к ОВ совершается против (по) часовой стрелки (предполагается, что мы смотрим на плоскость (АОВ) из точки С).

Опр. Координаты x, y, z вектора ОМ в базисе {е₁,е₂,е₃} называются координатами точки М в системе координат {0, е₁,е₂,е₃}

Опр. Углом между векторами а и и называют угол между лучами ОА и ОВ, т. е. угол АОВ, если эти лучи не совпадают. В противном случае угол равен 0.

Опр. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.

Св-ва:

1. Ск. произведение коммутативно. Док-во: а*b=|a|*|b|*Cos(a, b)=|b|*|a|*Cos(b, a)=b*a

2. Ск. произведение ассоциативно относительно операции умножения вектора на число.

3. Скалярный квадрат равен квадрату его модуля.

4. Ск. произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

5.Ск. произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на ортогональную проекцию другого на ось, определяемую первым выбранным вектором.

6. Ск. произведение подчиняется дистрибутивному закону.

Теорема12: Скалярное произведение векторов а=(а₁, а₂, а₃) и в=(в₁, в₂, в₃), заданных в ортонормированном базисе, равно сумме произведений их соответствующих координат, т.е. а*в=а₁*в₁+а₂*в₂+а₃*в₃. Док-во: Так как векторы i, j, k попарно перпендикулярны, то i*j=i*k=j*k=0 Учитывая это и свойства 2.3.6 скалярного произведения векторов получим: а*в=(а₁i+a₂j+a₃k)*(b₁i+b₂j+b₃k)=a₁b₁i²+a₂b₂j²+a₃b₃k²=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃.

Следствие1: |a|=√(a₁²+a₂²+a₃²) Док-во: |a|²=a*a=a₁²+a₂²+a₃²=>|a|=√(a₁²+a₂²+a₃²)

Следствие2: Косинус угла между ненулевыми векторами а=(а₁, а₂, а₃) и в=(в₁, в₂, в₃), заданными в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле: Cos(a, b)=(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)/( √(a₁²+a₂²+a₃²)* √(b₁²+b₂²+b₃²)).Док-во: По ф-ле Сos(a, b)=(a*b)/(|a|*|b|) подставим значения из а*в=а₁*в₁+а₂*в₂+а₃*в₃ и |a|=√(a₁²+a₂²+a₃²) получим искомое.