- •Кафедра высшей математики
- •§ 2. Операции над свободными векторами: сложение и умножение на число.
- •§ 3. Линейная зависимость векторов. Коллинеарность и компланарность векторов.
- •§ 4. Проекции закреплённых и свободных векторов на плоскость и прямую.
- •4.1 Ортогональная проекция на плоскость
- •4.3 Ортогональная проекция на прямую
- •§ 5. Базисы в v3. Координаты векторов относительно базиса.
- •§ 6. Ортогональная система координат в пространстве. Длина вектора.
- •§ 1. Ориентация пространства. Правые и левые тройки некомпланарных векторов.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов.
- •§ 3. Векторное произведение векторов.
- •§4. Смешанное произведение векторов.
- •§ 1. Каноническое уравнение плоскости в пространстве
- •§ 2. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве
- •§3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
§ 6. Ортогональная система координат в пространстве. Длина вектора.
Определение 25: Ортогональная ( декартова ) система координат это
единица масштаба ( отрезок, длина которого будет считаться "единичной" ),
фиксированная т.О ( начало координат )
ортонормированный базис е1, е2, е3 (изменим стандартное обозначения для удобства)
пересекающиеся в т.О прямые l1, l2, l3, т.ч. li содержит реализацию еi, i=1,2,3.
Если на li зафиксировать "положительное" направление в соответствии с направлением еi, получим оси координат (стандартное обозначение осей: Ox, Oy и Oz).
Теорема2: Если известны координаты точек А=(x1,y1,z1) и B=(x2,y2,z2) , то координаты вектора АВ можно вычислить по формуле: АВ={ x2-x1 , y2-y1 , z2-z1 }.
Теорема3: Если в ортогональной системе координат b={x, y, z}, то | b |=.
Ориентация пространства ~ Скалярное произведение ~ Векторное произведение ~ Смешанное произведение
§ 1. Ориентация пространства. Правые и левые тройки некомпланарных векторов.
Для дальнейшего изучения свойств пространства необходимо ввести определение ориентации пространства. Строгая теория, касающаяся этого понятия не очень сложна, но достаточно суха. В связи с этим ограничимся лишь некоторыми “качественными” пояснениями.
Итак, все упорядоченные некомпланарные тройки векторов могут быть разбиты на два непересекающихся класса: правые тройки и левые тройки.
Определение 1: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а1, а2, а3 называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от а1 к а2 и от а2 к а3 кажутся происходящими против часовой стрелки. Если повороты происходят по часовой стрелке, то тройка – левая.
Есть и ещё один способ разделить эти два класса:
Правило правой руки: Совместите начала всех векторов тройки в одной точке. Представьте, что в этой точке находится ладонь Вашей правой руки. Совместите большой палец с первым вектором базиса, а указательный – со вторым. Если теперь вы сможете совместить средний палец с третьим вектором, то рассматриваемая тройка векторов – правая. Если нет – левая.
Выбрав один из двух классов и назвав все входящие в него базисы “положительными” мы зададим ориентацию пространства.
Далее будем считать положительными правые тройки векторов. Все дальнейшие определения будем давать с учетом этого
§ 2. Скалярное произведение векторов.
Определение 2: Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число (a,b)=|a|·|b|·cosφa,b.
Свойства скалярного произведения:
1. коммутативность: (a,b)=(b,a)
2. (а,а)=|а|2
3. (a,b)=0 <=> a b
4. Дистрибутивность: (a1+а2,b)= (a1,b)+ (a2,b)
5. (а, λ·b)= λ·(a,b) λR.
Утверждение 1: В декартовом базисе если а={x1,y1,z1}, b={x2,y2,z2}, то (a,b)=x1·x2+y1·y2+z1·z2.
§ 3. Векторное произведение векторов.
Определение 3: Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор [a,b], такой что
| [a,b] |=Sa,b, где Sa,b – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. (Если a || b, то Sa,b=0.)
a [a,b] b.
a, b, [a,b] – правая тройка.
Свойства векторного произведения:
[a,b] = -[b,a]
[a,b] = θ a || b
[a1+a2,b] = [a1,b]+[a2,b]
λ·[a,b] = [λ·a,b] = [a,λ·b] λ R.
Утверждение 2: В декартовой системе координат (базис i, j, k), a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2}
=> [a,b] =
=