9.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 9

1. Как определяется зависимость между признаками: а) функциональная; б) вероятностная; в) корреляционная?

2. В чем заключается задача: а) корреляционного анализа; б) регрессионного анализа?

3. Что называется диаграммой рассеяния или корреляционным полем?

4. В чем состоит разница в понятиях «теоретический коэффициент корреляции» и «выборочный коэффициент корреляции»?

5. Как определяется выборочный коэффициент корреляции?

6. Сформулируйте свойства выборочного коэффициента корреляции.

7. Какой вид имеет уравнение регрессии переменной Y на Х в случае линейной регрессионной модели?

8. Как оценивается теоретическая прямая регрессии переменной Y на Х?

9. Как определяется точечный прогноз среднего значения зависимой переменной Y при заданном значении независимой переменной Х?

10. Что можно сказать о характере зависимости между случайными величинами Х и Y при: а) r = 0; б) r = 1; в) r = -1?

10 Статистические гипотезы

10.1 Теоретические сведения и примеры решения задач

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Нулевой гипотезой Н₀ называется проверяемая гипотеза.

Вероятность допустить ошибку, а именно: отвергнуть верную гипотезу Н₀ , называется уровнем значимости.

Правило, по которому нулевая гипотеза отвергается или принимается, называется статистическим критерием.

Статистический критерий, служащий для проверки гипотез о виде закона распределения, называется критерием согласия.

Критерий согласия Пирсона :

,

где  эмпирические частоты случайной величины Х;

 теоретические частоты;

 вероятности, рассчитанные по предполагаемому теоретическому распределению.

Схема применения критерия согласия Пирсона сводится к следующему:

а) определяется мера расхождения теоретических и эмпирических частот, вычисляется статистика ;

б) для выбранного уровня значимости по таблице распределения (таблица А4 Приложения А) находится критическое значение при числе степеней свободы , где m – число выборочных

групп, s  число параметров теоретического распределения, определяемого по опытным данным.

в) если наблюдаемое значение больше критического, то гипотеза Н₀ отвергается, в противном случае гипотеза не противоречит опытным данным на заданном уровне значимости.

При использовании критерия Пирсона следует помнить, что он дает удовлетворительные результаты, если в каждом группировочном интервале число наблюдений не меньше 5. В противном случае имеет смысл объединить соседние интервалы. При этом соответствующим образом уменьшится число степеней свободы.

Задача. Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в % к предыдущему году):

Выработка в отчетном году (в % к предыдущему году)	Менее 104	104114	114124	124134	Более 134
Количество рабочих	6	20	45	24	5

С помощью критерия согласия Пирсона проверить гипотезу о том, что выработка на одного рабочего в отчетном году (в % к предыдущему) подчиняется нормальному закону распределения. Уровень значимости критерия принять равным 0,05.

Решение. Нулевая гипотеза Н₀ состоит в том, что исследуемый признак Х – выработка на одного рабочего в отчетном году (в % к предыдущему) подчиняется нормальному закону распределения.

В качестве оценок двух неизвестных параметров а и будут фигурировать соответствующие выборочные характеристики: и . Можно показать, что . Исследуемый признак принимает значения на всей вещественной оси (в принципе, но не в реальности). Поэтому интервалы разбиения таковы, что левый конец и правый конец .

Теоретические вероятности находятся по формуле

, i = 1, 2, … , k.

Необходимые для этих вычислений значения функции взяты из таблицы А1 Приложения А. Дальнейшие выкладки сведены ниже в таблицу. При этом объединены два последних интервала группировки ввиду их малочисленности.

Интервал группи-ровки	Частота		Функция	Вероят-ность
	6	−∞	−0,5	0,053	5,3	0,092
	20	−1,62	−0,447	0,238	23,8	0,636
	45	−0,55	−0,209	0,404	40,4	0,524
	24	0,51	0,195	0,248	24,8	0,026
	5	1,57	0,442	0,057	5,7	0,11
−	−	+ ∞	0,5	−	−	−

Вычисленное статистическое значение критерия . По количеству интервалов группировки m = 5, числу параметров нормального распределения найдем число степеней свободы 5 – 3 = 2. Для заданного уровня значимости критерия и числа степеней свободы k = 2 по таблице А4 Приложения А находим . Так как , то нулевая гипотеза о нормальном распределении величины выработки рабочего согласуется с имеющимися данными.