Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова»

Бийский технологический институт (филиал)

Л.П. Кувшинова, Т.М. Тушкина, Т.А. Шайхудинова

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические рекомендации и контрольные задания

к типовому расчету для студентов специальностей

230201, 080801, 200106, 080502, 080301,

190603, 170104, 160302, 151001, 260204,

260601, 080401, 220501, 240706, 240901,

240701, 240702, 080109

Бийск

2007

УДК 519

К88

Кувшинова, Л.П. Теория вероятностей и математическая статис-тика: методические рекомендации и контрольные задания к типовому расчету для студентов специальностей 230201, 080801, 200106, 080502, 080301, 190603, 170104, 160302, 151001, 260204, 260601, 080401, 220501, 240706, 240901, 240701, 240702, 080109 / Л.П. Кувшинова, Т.М. Тушкина, Т.А. Шайхудинова.

Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск:

Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2007. – 99 с.

Типовой расчет содержит краткие теоретические сведения, примеры решения задач по темам всех заданий типового расчета. Здесь же приводятся теоретические вопросы к защите типового расчета, общие для всех студентов группы и индивидуальные задания для каждого.

Студенту необходимо выполнить все задания своего варианта, ответить на все теоретические вопросы.

В типовом расчете предложено 30 вариантов заданий одинаковой степени трудности.

Задания типового расчета предназначены для индивидуальной работы студентов дневной, вечерней форм обучения специальностей 230201, 080801, 200106, 080502, 080301, 190603, 170104, 160302, 151001, 260204, 260601, 080401, 220501, 240706, 240901, 240701, 240702, 080109.

Рассмотрены и одобрены

на заседании кафедры

высшей математики

и математической физики.

Протокол № 4 от 31.08.2007 г.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент кафедры ИУС БТИ АлтГТУ Налимов А.В.

© БТИ АлтГТУ, 2007

Требования к представлению и оформлению результатов типового расчета

При выполнении и оформлении заданий типового расчета необходимо соблюдать следующие правила.

1. Работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, название учебного заведения, номер группы, номер варианта.

2. Задания выполняются чернилами, с полями 3…4 см для замечаний преподавателя.

3. Решения задач располагаются в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи обязательно должно быть записано ее условие. Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными, аккуратными, без сокращения слов. При решении следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются. Все вычисления, в том числе и вспомогательные, необходимо делать полностью.

4. Таблицы и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей, характерных точек графика. Графики нужно подписывать.

5. Вычисления нужно производить по возможности точно в обык-новенных или десятичных дробях, не делать округлений в промежуточных вычислениях.

6. Решение каждой задачи необходимо заканчивать записью ответа.

7. Для защиты типового расчета необходимо подготовить ответы на все теоретические вопросы, приведенные в данном пособии.

1 Классическое определение вероятности

1.1 Теоретические сведения и примеры решения задач

При классическом определении вероятность события А определяется отношением

,

где m  число элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А, а n  общее число возможных элементарных исходов испытания; предполагается также, что элементарные исходы единственно возможны и равновозможны.

При непосредственном подсчете вероятности используются следующие понятия и правила комбинаторики.

Правило сложения: если некоторое событие А может наступить в m случаях, а другое событие В может наступить в k случаях, то событие «А или В» может наступить в m + k случаях.

Правило умножения: если событие А может наступить в m случаях и в каждом из этих случаев событие В может произойти в k случаях, то событие «А и В» может наступить в m · k случаях.

Перестановкой из n элементов называется набор из n элементов, расположенных в определенном порядке. Две перестановки отличаются друг от друга только порядком своих элементов. Число всех перестановок из n элементов равно

.

Размещением из n элементов по k элементов называется упорядоченный набор из k элементов, выбранных из n элементов, расположенных в определенном порядке. Два размещения отличаются друг от друга либо порядком, либо составом своих элементов. Если в размещениях из n по k нет повторения элементов, то число таких размещений равно

,

если повторение элементов допускается, то число размещений равно

.

Сочетанием из n элементов по k элементов называется неупорядоченный набор из k элементов, выбранных из n элементов. Два сочетания отличаются только составом своих элементов. Если в сочетаниях из n по k нет повторения элементов, то число таких сочетаний равно

.

Задача 1. В ящике находятся три шара с номерами 1, 2, 3. Наугад извлекаются два шара. Какова вероятность того, что оба вынутых шара имеют нечетные номера?

Решение. Обозначим событие А – два наугад вынутых шара имеют нечетные номера. В данном опыте возможно три элементарных исхода: вынуты шары с номерами 1 и 2; вынуты шары с номерами 1 и 3, вынуты шары с номерами 2 и 3. Событию А благоприятствует лишь один элементарный исход. Таким образом, .

Задача 2. В партии из 10 деталей семь стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей четыре стандартных.

Решение. Обозначим событие А – среди шести взятых деталей четыре стандартных. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шесть деталей из 10, т.е. .

Определим число исходов, благоприятствующих событию А – среди шести взятых деталей четыре стандартных. Четыре стандартные детали из семи стандартных можно взять , при этом остальные (6 – 4) = 2 детали должны быть нестандартными; взять же две нестандартные детали из (10 – 7) = 3 деталей можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно , а искомая вероятность равна .