17.2. Функции многих переменных

Определение 8. Если каждой точке из множества евклидова пространства по какому-либо закону поставлено в соответствие некоторое число из числового множества , то говорят, что на множестве задана функция переменных с множеством значений из множества . Множество называют областью определения функции. Множество называют областью значений функции .

Замечание. Далее для простоты будем рассматривать функции двух переменных . Областью определения функции двух переменных является некоторое множество точек на координатной плоскости, а графиком – некоторая поверхность в трехмерном пространстве.

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Область определения функции задается условием или , то есть представляет собой круг радиуса 1 с центром в начале координат.

Примеры функций многих переменных в экономике

1) Функция полезности, выражающая полезность от двух приобретенных товаров и чаще всего встречается в следующих видах:

а) , где ( ), , ;

б) , где , ( ), , ; такую функцию называют функцией постоянной эластичности;

в) функция Р. Стоуна , где ( ) – минимально необходимое количество -го блага, которое приобретается в любом случае; ( ) – коэффициенты, характеризующие относительную ценность благ для потребителя.

2) Производственная функция, выражающая результат производственной деятельности от обусловивших его факторов (например, труда и капитала ), чаще всего встречается в следующих видах:

а) функция Кобба–Дугласа ;

б) функция с постоянной эластичностью замещения .

Замечание. Приведенные функции могут быть обобщены на любое число переменных.

Определение 9. Линией уровня функции двух переменных называют плоскую кривую, получаемую при пересечении графика этой функции плоскостью ( ), параллельной координатной плоскости .

Замечание 1. Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям , проецируются на координатную плоскость . В этом случае с их помощью удобно исследовать сложный характер графика функции . Таким образом, можно сказать, что линии уровня функции – это семейство кривых на координатной плоскости , описываемое уравнением вида .

Замечание 2. В экономике линии уровня производственных функций называют изоквантами (линиями постоянного уровня производства), а линии уровня функции полезности – кривыми безразличия (вдоль них полезность двух товаров остается неизменной)

Пример 3. Найти линии уровня функции .

Решение. Линии уровня данной функции – это семейство кривых на плоскости , описываемое уравнением . Преобразуем это уравнение: выделим полный квадрат по каждой переменной. Тогда или . Полученное уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке радиуса ( ).

17.3. Частные производные функций многих переменных

Пусть функция определена на множестве , точки , , принадлежат множеству

Определение 10. Частным приращением функции по переменной в точке , соответствующим приращению , называют величину .

Определение 11. Частным приращением функции по переменной в точке , соответствующим приращению , называют величину .

Определение 12. Полным приращением функции в точке , соответствующим приращению , называют величину

.

Определение 13. Частной производной функции по переменной в точке называют предел отношения частного приращения функции по переменной к приращению этой переменной при :

.

Определение 14. Частной производной функции по переменной в точке называют предел отношения частного приращения функции по переменной к приращению этой переменной при :

.

Обозначения: частная производная по в произвольной точке : , , ; частная производная по в произвольной точке : , , .

Замечание. Частная производная по переменной есть обычная производная по при фиксированном значении . Частная производная по переменной есть обычная производная по при фиксированном значении . Отсюда следует, что для частных производных остается справедливой таблица производных и правила вычисления производных.

Пример 4. Найти частные производные функции .

Решение. , .

Определение 15. Функцию двух переменных называют дифференцируемой в точке , если ее полное приращение можно представить в виде следующего выражения:

,

причем .

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , внутренней для области определения функции, то ее частные производные в точке по обеим переменным существуют, причем , .

Теорема 2. Если функция имеет частные производные по обеим переменным в окрестности точки , причем все частные производные в самой точке непрерывны, то функция дифференцируема в точке .