Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
08_С101-116_Разд2.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
18.08.2019
Размер:
2.11 Mб
Скачать

Задания для решения на практическом занятии

1. Найти и построить область определения функции:

а) , б) , в) , г) , д) , е) .

2. Построить линии уровня функции:

а) , б) , в) , г) , д) , е) .

3. Найти частные производные первого порядка:

а) , б) , в) , г) , д) , е)  , ж)  , з) , и) , к)  .

4. Найти градиент функции в указанной точке:

а) , ; б) , ; в) , ; г)  , .

5. Найти все частные производные второго порядка:

а) , б) , в) , г) , д)  , е) , ж) , з) , и) , к)  , л) .

6. Найти предельные показатели продукции при изменении одного из факторов по функции Кобба–Дугласа .

7. Найти предельные полезности для функции .

8. Функция спроса на товар зависит от его цены и дохода потребителя следующим образом: . Используя уравнение Слуцкого, рассчитать .

Задания для самостоятельной работы

1. Найти и построить область определения функции:

а) , б) , в) , г) .

2. Построить линии уровня функции:

а) , б) , в) , г) .

3. Найти частные производные первого порядка:

а) , б) , в) , г) , д) , е)  , ж) , з) , и) .

4. Найти градиент функции в указанной точке:

а) , ; б) , ; в) , .

5. Найти все частные производные второго порядка:

а) , б) , в) , г) , д) .

Тема 18. Экстремумы функций многих переменных

18.1. Локальный экстремум функции двух переменных

Рассмотрим функцию и точку .

Определение 1. Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то точку называют точкой локального минимума функции .

Определение 2. Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то точку называют точкой локального минимума функции .

Определение 3. Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие локального экстремума). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке конечные частные производные. Если точка является точкой локального экстремума функции , то значения частных производных в этой точке равны нулю: .

Определение 4. Точку области определения функции, в которой , называют стационарной.

Теорема 2 (достаточные условия существования локального экстремума). Пусть функция в некоторой окрестности стационарной точки имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда

1) если , то в точке функция имеет локальный экстремум, причем, если , то точка является точкой локального минимума, а если , то точка является точкой локального максимума;

2) если , то в точке нет экстремума;

3) если , то задача требует дополнительного исследования.

Алгоритм исследования функции двух переменных на локальный экстремум

1) Найти частные производные первого порядка функции : , .

2) Найти стационарные точки функции как решения системы уравнений

3) Найти все частные производные второго порядка , , , ,

составить определитель .

4) Вычислить значения определителя во всех стационарных точках. Применить теорему 2.

5) Вычислить значения функции в точках локального экстремума. Записать ответ.

Пример 1. Найти точки локального экстремума функции .

Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка:

, .

2) Найдем стационарные точки функции:

Таким образом, стационарные точки: , .

3) Вычислим частные производные второго порядка: , , , . Тогда определитель примет вид .

4) Вычислим значения определителя в стационарных точках. В точке , следовательно, в точке нет локального экстремума. В точке , следовательно, в точке есть локальный экстремум. Так как , то точка – точка локального минимума.

5) Вычислим значение функции в точке :

.

Таким образом, точка локального минимума , .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]