2. Исследовать числовой ряд на сходимость:

а) , б) , в) , г) , д) , е)  , ж) , з) , и)* , к) , л)  , м) , н) , о) , п) , р) , с)  , т)* , у) , ф) .

3. Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость:

а) , б) , в) , г) .

Задания для самостоятельной работы

1. Найти сумму числового ряда с помощью определения:

а) , б) , в) , г) , д)  , е) .

2. Исследовать числовой ряд на сходимость:

а) , б) , в) , г) , д) ,

е)  , ж) , з) , и) , к)  , л) , м) , н) , о) .

3. Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость:

а) , б) , в) , г) .

Тема 16. Степенные ряды

16.1. Сходимость степенных рядов

Пусть – бесконечная последовательность функций, определенных на некотором числовом множестве . Построим из этой последовательности новую последовательность по правилу:

, , …, , …

Определение 1. Функциональным рядом называют упорядоченную пару последовательностей . Обозначение: .

Определение 2. Степенным рядом называют функциональный ряд вида . Вещественные числа ( ) называют коэффициентами степенного ряда. Вещественное число называют центром степенного ряда.

Определение 3. Степенной ряд вида называют рядом Маклорена.

Замечание 1. Если сделать замену переменной , то от степенного ряда всегда можно перейти к ряду Маклорена вида . Поэтому далее рассматриваем степенные ряды вида .

Замечание 2. Область определения любого степенного ряда – множество всех действительных чисел .

Замечание 3. Любой степенной ряд вида сходится при . Одна из задач теории степенных рядов: выяснить, при каких еще значениях степенной ряд сходится, а также при каких значениях степенной ряд сходится абсолютно.

Теорема 1. Если степенной ряд сходится при некотором ( ), то он сходится при любом значении , удовлетворяющем условию . Если степенной ряд расходится при некотором ( ), то он расходится при любом значении , удовлетворяющем условию .

Теорема 2. Для всякого степенного ряда существует число (возможно и бесконечное) такое, что

1) если , то ряд сходится только при ;

2) если , то ряд сходится при любом ;

3) если , то при всех , удовлетворяющих условию , ряд сходится, а при всех , , удовлетворяющих условию , ряд расходится.

Определение 4. Число такое, что при ряд сходится, а при  – расходится, называют радиусом сходимости степенного ряда.

Определение 5. Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание. Из теоремы 2 следует, что при всех степенной ряд сходится абсолютно, при всех – расходится. При вопрос о сходимости должен рассматриваться конкретно для каждого ряда.

Определение 6. Множество точек числовой прямой, получающееся добавлением интервалу сходимости точек и , называют промежутком сходимости или областью сходимости степенного ряда.

Теорема 3. Пусть для степенного ряда существует предел . Тогда: 1) если , то ; 2) если , то ; 3) если , то .

Теорема 4. Пусть для степенного ряда существует предел . Тогда: 1) если , то ; 2) если , то ; 3) если , то .

Пример 1. Найти промежуток сходимости степенного ряда .

Решение. Найдем радиус сходимости. Так как , то по теореме 4 имеем

.

Отсюда , то есть ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

Пример 2. Найти промежуток сходимости степенного ряда .

Решение. 1) Найдем радиус сходимости. Так как , то по теореме 3 имеем . Отсюда .

2) Интервал сходимости: ряд абсолютно сходится в интервале .

3) Исследуем ряд на сходимость в точках и .

При ряд принимает вид . Это числовой знакочередующийся ряд, он расходится (см. тему 15, пример 2).

При ряд принимает вид . Это числовой положительный ряд. Проверим необходимое условие сходимости: , следовательно, ряд расходится.

Таким образом, промежутком сходимости является интервал .

Пример 3. Найти промежуток сходимости степенного ряда .

Решение. 1) Найдем радиус сходимости. Обозначим и рассмотрим вспомогательный ряд . Так как у вспомогательного ряда , то по теореме 3 имеем: . Отсюда .

2) Найдем интервал сходимости ряда . Так как , то по теореме 2 имеем , или , или . Ряд абсолютно сходится в интервале .

3) Исследуем ряд на сходимость в точках и .

При ряд принимает вид . Ряд является числовым знакочередующимся. Исследуем его на абсолютную сходимость. Соответствующий ряд из абсолютных членов: . Проверим необходимое условие сходимости: , следовательно, необходимое условие сходимости выполняется. Сравним ряд с гармоническим рядом . В силу второй теоремы сравнения получаем , следовательно, ряд расходится, а ряд расходится абсолютно. Но так как , и с увеличением номера убывает, то ряд является рядом типа Лейбница. Следовательно, он сходится. Точку можно включить в промежуток сходимости.

При ряд принимает вид . Это числовой положительный ряд. Необходимое условие сходимости для этого ряда выполняется ( ). Но, сравнивая этот ряд с гармоническим рядом , в силу второй теоремы сравнения получаем , следовательно, ряд расходится. Точка не входит в промежуток сходимости.

Таким образом, промежутком сходимости является полуинтервал .

Теорема 5. Если радиус сходимости степенного ряда не равен нулю, то сумма этого степенного ряда является непрерывной функцией на любом отрезке .