18.2. Наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченном замкнутом множестве

Определение 5. Непустое множество называют замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки, то есть точки, окрестности которых содержат точки как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему.

Пусть функция задана на некотором непустом замкнутом множестве . Предположим, что это множество ограничено линиями, заданными уравнениями , (или ). В этом случае можно говорить о наибольшем и наименьшем значениях функции на множестве (о так называемых глобальных экстремумах функции на множестве ).

Наибольшего и наименьшего значений функция может достигать либо во внутренних точках множества (точках локального экстремума, принадлежащих множеству ), либо на границе множества .

117